Question

如图所示光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R），小球a、b大小相同，质量均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（　　）

• A．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg
• B．当v=

  gR

  时，小球b在轨道最高点对轨道无压力
• C．速度v至少为

  5GR

  ，才能使两球在管内做圆周运动
• D．只要v≥

  5gR

  ，小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg

Answer 1

分析：小球在圆环的内侧运动，相当于圆周运动中的杆的模型，此时在最高的速度是可以为零的，在整个运动的过程中小球的机械能守恒，可以求得小球到达最低端是的速度和需要的向心力的大小．

解答：解：由于管中没有摩擦力的作用，所以球的机械能守恒，
当小球b在最高点对轨道无压力，即只有重力做为向心力，
所以mg=m

vb2

R

，所以在最高点时b球的速度的大小为

gR

，
所以B正确，C错误；
从最高点到最低点，由机械能守恒可得，mg?2R+

1

2

mv_b²=

1

2

mv_a²，
对于a球，在最低点是，由向心力的公式可得 F-mg=m

va2

R

，
所以F-mg=5mg，
所以此时的向心力的大小为5mg，
所以小球a比小球b所需向心力大4mg，所以A错误；
D、最高点时F₁=m

v12

R

-mg，
在最低点时，F₂=m

v22

R

+mg，
由机械能守恒有

1

2

mv₁²+mg2R=

1

2

mv₁²，
所以F₂-F₁=6mg．所以D正确．
故选BD．

点评：内管可以对小球提供支持力，可化为轻杆模型，在最高点时，小球速度可以为零，与绳的模型一定要区分开．