Question

16．如图所示，光滑轨道的DP段为水平轨道，PQ段为半径是R的竖直半圆轨道，半圆轨道的下端与水平的轨道的右端相切于P点，一轻质弹簧左端A固定，另一端拴接一个质量为m的小球B，质量也为m的小球C靠在B球的右侧，现用外力作用在C上，使弹簧被压缩了一定距离（弹簧仍在弹性限度内）．这时小球静止于距离P端3R的水平轨道上，若撤去外力，C球运动到轨道的最高点Q后又恰好落回到原出发点．已知重力加速度为g．求
（1）小球C运动到Q点时对轨道的压力多大？
（2）撤去外力前的瞬间，弹簧的弹性势能E_p是多少？

Answer 1

分析 （1）小球离开Q点后做平抛运动，由平抛运动的规律可以求得小球在Q点的速度的大小，从而由牛顿第二定律和牛顿第三定律结合可以求得C球到Q点时对轨道的压力．
（2）撤去外力前的瞬间，弹簧的弹性势能作用下，B、C两球获得动能，因此借助平抛运动求出C球抛出速度，再由机械能守恒算出小球C被弹出的速度，从而根据能量守恒，确定撤去外力时弹簧的弹性势能．

解答 解：（1）设小球经过最高点Q时的速度为v，由平抛规律有：
$2R=\frac{1}{2}g{t^2}$
3R=vt
联立两式得：$v=\frac{3}{2}\sqrt{gR}$
小球C在最高点，由动力学方程得：${F_N}+mg=m\frac{v^2}{R}$
解得：${F_N}=\frac{5}{4}mg$
根据牛顿第三定律得：球C运动到Q点时对轨道的压力 F_N′=${F}_{N}=\frac{5}{4}mg$
（2）设小球C离开小球B时的速度为v₀，由机械能守恒有：$\frac{1}{2}m{v}^{2}+2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
弹簧恢复到原长时脱离，则由能量守恒有：${E}_{P}=\frac{1}{2}×2m{{v}_{0}}^{2}$
联立上述各式得：${E}_{P}=\frac{25}{4}mgR$
答：（1）小球C运动到Q点时对轨道的压力为$\frac{5}{4}$mg．
（2）撤去外力前的瞬间，弹簧的弹性势能E_P是$\frac{25}{4}mgR$．

点评 本题考查了能量的转化和守恒，同时还有机械能守恒和平抛运动的规律，分析清楚运动过程，应用牛顿第二定律、能量守恒定律即可正确解题．