Question

20．如图为某探究小组设计的简易运输系统；高度为h、倾角为30⁰的固定斜面下端与水平面平滑连接，一劲度系数为k的轻质弹簧左端固定，自由伸长时右端恰好位于斜面下端；质量为M的木箱在斜面顶端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿斜面无初速度滑下，然后压缩弹簧减速至速度为零时，自动卸货装置立即将货物卸下，然后木箱被弹回；已知水平面光滑，木箱与斜面间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，重力加速度为g，求：
（1）木箱在斜面上下滑的加速度大小a；
（2）卸货的位置离斜面下端的距离d．

Answer 1

分析 （1）以木箱和货物为研究对象，根据牛顿第二定律求加速度；
（2）根据运动学公式求出木箱和货物滑到斜面底端的速度，压缩弹簧过程中弹力做功，根据平均力求弹力做功，由动能定理即可求出卸货的位置离斜面下端的距离d；

解答 解：（1）以木箱和货物为对象，刚开始下滑时两者所受的合外力为
F_合=（M+m）gsin30°-μ（M+m）gcos30°…①
由牛顿第二定律得F_合=（M+m）a…②
故a═gsin30°-μgcos30°=$\frac{1}{4}$g…③
（2）斜面的长度L=$\frac{h}{sin30°}$=2h…④
木箱和货物滑到下端时的速度v=$\sqrt{2aL}$=$\sqrt{gh}$…⑤
在压缩弹簧过程中弹簧弹力做功W=-$\overline{F}$d…⑥
弹力大小的平均值$\overline{F}$=$\frac{1}{2}$kd…⑦
根据动能定理，有W=0-$\frac{1}{2}$（M+m）v²⑧
解得：d=$\sqrt{\frac{（M+m）gh}{k}}$…⑨
答：（1）木箱在斜面上下滑的加速度大小a为$\frac{1}{4}g$；
（2）卸货的位置离斜面下端的距离d为$\sqrt{\frac{（M+m）gh}{k}}$

点评 本题考查牛顿运动定律和动能定理的应用，注意弹簧弹力是变力，求解变力做功问题一般借助动能定理求解，本题中弹力与位移成线性，所以可以用平均力做功．