Question

如图所示，x轴上方是磁感强度为B的匀强磁场，下方是场强为E的匀强电场，方向如图，屏MN距y轴为S．今有一个质量为m 电荷量为q的正离子（不计重力）从坐标原点O沿y轴正方向射入磁场，若要粒子垂直打在MN上，则
（1）粒子从原点射入时的速度是多少？
（2）粒子从射入磁场到打在MN上需要多少时间？

Answer 1

分析：（1）设正离子在磁场中运动的半径为R，要使粒子垂直打在屏MN上，根据几何关系得到s=2nR+R（n=0，1，2，…），得到半径R的表达式，由牛顿第二定律求解离子的速度．
（2）根据离子运动的时间与周期的关系，求出离子在磁场中运动时间．离子在电场中做往复匀变速直线运动，由牛顿第二定律和速度公式结合求出时间，即可得到总时间．

解答： 解：（1）设正离子在磁场中运动的半径为R，要使粒子垂直打在屏MN上，则有s=2nR+R（n=0，1，2，…），得R=

s

2n+1

，
可能（n=0，1时）的轨迹如图中虚线所示．
又Bqv=m

v2

R

，所以v=

BqR

m

=

Bqs

(2n+1)m

（n=0，1，2，…）．
（2）粒子在磁场中运动时间t₁=

n

2

T+

1

4

T
又T=

2πm

qB

，所以t₁=

πnm

qB

+

πm

qB

（n=0，1，2，…）
粒子在电场中运动的时间为t₂，
由t₂=2n

v

a

，Eq=ma，得
t₂=

2nBs

E(2n+1)

（n=0，1，2，…）
所以粒子运动的总时间为
t=t₁+t₂=

(2n+1)πm

2Bq

+

2nBs

(2n+1)E

（n=0，1，2，…）．
答：
（1）粒子从原点射入时的速度是

Bqs

(2n+1)m

（n=0，1，2，…）．
（2）粒子从射入磁场到打在MN上需要时间为

(2n+1)πm

2Bq

+

2nBs

(2n+1)E

（n=0，1，2，…）．

点评：本题是物理上的数列问题，通过归纳法得到半径的通项是关键，考查运用数学知识解决物理问题的能力．