Question

17．如图所示，半径为R的光滑半圆形细轨道竖直放置，与倾角为30°的光滑斜面AB在最低点A平滑连接．一质量为m内置炸药的小物块静放在A点，现引爆小物块内的炸药，将小物块沿水平方向炸成P、Q两块，一块P经光滑半圆形轨道到达C后飞出，正好垂直打在斜面AB上．不计物块大小及Q的速度由水平变为斜面方向过程中的能量损失，重力加速度为g．求：
（1）P物块过C点的速度大小；
（2）若另一块Q沿光滑斜面AB到达的最高点正好是P在斜面上的落点，求爆炸后P、Q的速度大小；
（3）炸药爆炸放出的能量．

Answer 1

分析 （1）首先据平抛运动的规律和几何关系联立求解．（2）由于运动过程中满足机械能守恒，分别对其利用机械能守恒定律列方程．（3）据能量守恒求释放的能量．

解答 解：（1）由平抛运动规律得：x=v_ct 
                        y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$  
                        v_x=v_c  
                        v_y=gt
由题意据几何关系可知：tan30°=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{y}}$=$\frac{2R-y}{x}$
联立以上各式解得：v_c=$\frac{2}{5}\sqrt{5gR}$
（2）设爆炸后P、Q的速度大小分别为v_p、v_Q，质量分别为m_p、m_Q，对P、Q由机械能守恒定律得：
             $\frac{1}{2}{m}_{p}{v}_{p}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{p}{v}_{c}^{2}+$2m_pgR
         $\frac{1}{2}{m}_{Q}{v}_{Q}^{2}$=m_Qg（2R-y）
联立以上各式解得：v_p=$\frac{2}{5}\sqrt{30gR}$   v_Q=$\frac{2}{5}\sqrt{10gR}$
（3）爆炸过程由动量守恒得：m_Qv_Q-m_pv_p=0
炸药爆炸放出的能量：E=$\frac{1}{2}{m}_{p}{v}_{p}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{Q}{v}_{Q}^{2}$
又因为：m_p+m_Q=m
联立以上各式解得：E=$\frac{4\sqrt{3}}{5}mgR$
答：（1）P物块过C点的速度大小$\frac{2}{5}\sqrt{5gR}$；
（2）若另一块Q沿光滑斜面AB到达的最高点正好是P在斜面上的落点，求爆炸后P、Q的速度大小分别$\frac{2}{5}\sqrt{30gR}$  和$\frac{2}{5}\sqrt{10gR}$；
（3）炸药爆炸放出的能量$\frac{4\sqrt{3}}{5}mgR$．

点评 据题意分析两块的运动遵循的规律是解题的关键，此题是动量守恒定律、能量守恒和机械能守恒定律的综合应用，解题思路较明确，但计算量较麻烦，易出错．