Question

9．如图所示，光滑的水平轨道与光滑半圆弧轨道相切．圆轨道半径R=2.5m，一质量m=1kg的小球停放在光滑水平轨道上，现给小球一个v₀=5$\sqrt{5}$m/s的初速度，小球恰能通过最高点C后落回A点，不计空气阻力，g=10m/s²求：
（1）球过B点时对半圆轨道的压力；
（2）AB两点间的水平距离；
（3）球落到A点时的速度．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律，结合径向的合力提供向心力求出小球在B点所受的支持力，从而得出压力的大小．
（2）根据动能定理求出C点的速度，根据高度求出平抛运动的时间，结合初速度和时间求出水平位移．
（3）根据平抛运动的规律，结合平行四边形定则求出球落到A点的速度大小．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律得，${N}_{B}-mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，
解得${N}_{B}=mg+m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}=10+1×\frac{125}{2.5}$N=60N．
根据牛顿第三定律知，球过B点时对半圆轨道的压力为60N．
（2）根据动能定理得，$-mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入数据解得v_C=5m/s，
根据$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{4R}{g}}=\sqrt{\frac{4×2.5}{10}}s=1s$，
则AB间的水平距离x=v_Ct=5×1m=5m．
（3）根据平行四边形定则知，落到A点的速度${v}_{A}=\sqrt{{{v}_{C}}^{2}+2g•2R}=\sqrt{25+20×5}$m/s=$5\sqrt{5}$m/s．
答：（1）球过B点时对半圆轨道的压力为60N；
（2）AB两点间的水平距离为5m；
（3）球落到A点时的速度为$5\sqrt{5}$m/s．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的基本运用，掌握圆周运动向心力的来源，以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．