Question

（2010?湖南模拟）如图甲所示，一边长为L，质量为m，电阻为R的正方形金属框竖直放置在磁场中，磁场方向垂直方框平面，磁感应强度的大小随y的变化规律为B=B_H+ky，k为恒定常数，同一水平面上磁感应强度相同．现将方框从如图所示位置自由下落，重力加速度为g，不计空气阻力，设磁场区域足够大．
（1）判定方框中感应电流的方向；
（2）通过计算确定方框最终运动的状态；
（3）图乙为感应电动势E随下降高度y的变化图象，求方框从初位置下落H高度时产生的热量Q．

Answer 1

分析：（1）金属框下落过程中，穿过线框的磁通量增大，根据楞次定律判断感应电流方向．
（2）线框在磁场中，做加速度逐渐减小的变加速运动，直至最后加速度为零，即做匀速运动．线框下落时，上、下两边都切割磁感线产生感应电动势，由E=BLv求出回路中总的感应电动势，由欧姆定律求出感应电流的大小，得到安培力的大小，由牛顿第二定律求出匀速运动时的速度．
（3）由图象可得线框下落H高度时做匀速运动，线框的重力势能减小转化为线框的动能和内能，根据能量守恒定律求出金属框下落H高度过程中产生的热量Q．

解答：解：（1）向下磁通量是逐渐增加的，由楞次定律可知，方框中感应电流方向为逆时针．
（2）线框在磁场中，做加速度逐渐减小的变加速运动，直至最后加速度为零，即做匀速运动．
设线框运动t时间后下落h高度，竖直方向速度为v_y，切割磁感线产生的电动势为：
E=B_下Lv_y-B_上Lv_y
I=

E

R

mg-（B_下LI-B_上LI）=ma
又  B_下-B_上=（B₀+ky_下）-（B₀+ky_上）=k（y_下-y_上）=kL
联立解得：a=g-

k2L4vy

mR

则知竖直方向先做加速度减小的变加速运动，最终匀速运动，当a=0时，速度最大，最大速度为v_m=

mRg

k2L4

（3）由图象可得线框下落H高度时做匀速运动，由能量守恒定律得：
Q=mgH-

1

2

mv_m²=mgH-

m3R2g2

2k4L8

答：（1）方框中感应电流的方向为逆时针方向；
（2）竖直方向先做加速度减小的变加速运动，最终匀速运动，最终的速度为

mRg

k2L4

；
（3）方框从初位置下落H高度时产生的热量Q是mgH-

m3R2g2

2k4L8

．

点评：本题的解题关键是推导出安培力与y的关系，分析线框的运动状态，考查综合分析电磁感应与力学综合题的能力．