Question

12．如图所示，上、下边界均水平的区域，内有磁感应强度大小为B、方向水平向里的匀强磁场，一边长为L（L小于磁场宽度）、质量为m、电阻为R的匀质正方形线框，通过滑轮装置与另一质量为M（M＞m）的物体连接，线框从磁场下方某处由静止释放，线框cd边刚进入磁场时就开始匀速运动，cd边刚要离开磁场时的速度为v₂，ab边离开磁场前线框又开始做匀速运动，已知线框在上升过程中平面始终与磁场方向垂直，ab边始终与边界平行，不计空气阻力及摩擦，求：
（1）线框cd边刚进入磁场时的速度v₁的大小；
（2）线框进入磁场区域的过程中产生的焦耳热Q₁；
（3）线框离开磁场区域的过程中产生的焦耳热Q₂．

Answer 1

分析 （1）cd边刚进入磁场时，根据平衡条件结合法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律列方程求解速度大小；
（2）线框进入磁场匀速运动，根据功能关系求解产生的焦耳热Q₁；
（3）根据能量守恒定律列方程求解线框离开磁场区域的过程中产生的焦耳热Q₂．

解答 解：（1）设绳子拉力为T，cd边刚进入磁场时，根据平衡条件可得：
对M：T=Mg，
对线框：T=mg+F_A，
根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可得F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$，
联立解得：v₁=$\frac{（M-m）gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）线框进入磁场匀速运动，根据功能关系可得：
Q₁=F_AL=（M-m）gL；
（3）由于cd边刚要离开磁场时的速度为v₂，ab边离开磁场前线框又开始做匀速运动，此时速度仍为v₁，
根据能量守恒定律可得：（M-m）gL-Q₂=$\frac{1}{2}（m+M）（{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}）$，
联立解得：Q₂=（M-m）gL-$\frac{1}{2}（m+M）（{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}）$=（M-m）gL-$\frac{1}{2}（m+M）（\frac{（M-m）^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}-{v}_{2}^{2}）$．
答：（1）线框cd边刚进入磁场时的速度v₁的大小为$\frac{（M-m）gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）线框进入磁场区域的过程中产生的焦耳热为（M-m）gL；
（3）线框离开磁场区域的过程中产生的焦耳热为（M-m）gL-$\frac{1}{2}（m+M）（\frac{（M-m）^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}-{v}_{2}^{2}）$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．