Question

（2011?上饶二模）（I）一列沿x轴正向传播的横波在某时刻的波形图如图甲所示．a、b、c、d为介质中沿波的传播方向上四个质点的平衡位置，若从该时刻开始计时，则图乙是下面哪个质点经过

3

4

个周期后的振动图象：

B

A．a处质点   B．b处质点       C．c处质点       D．d处质点

（II）如图所示，用折射率n=

2

的玻璃做成内径为R、外径为R′=

2

R的半球形空心球壳，一束平行光射向此半球的外表面，与中心对称轴OO'平行，试求：
（1）球壳内部有光线射出的区域；
（2）要使球壳内部没有光线射出，至少用多大的遮光板，如何放置才行？

Answer 1

分析：（Ⅰ）简谐横波沿x轴正向传播，判断出图示时刻各质点的速度方向，确定出经过

3

4

个周期后各质点的状态，选择与振动图象t=0时刻振动情况相符的质点．
（Ⅱ）（1）当光线射到空心球壳内表面发生全反射时，则不能从球壳内表面射出．根据折射定律求出临界角，由数学正弦定理求出光线在球壳外表面的折射角，再求出此表面的入射角，根据几何知识求解球壳内部有光线射出的区域．（2）将有光线射出的部分挡住，球壳内部将没有光线射出，由几何知识求出遮光板的半径．

解答：解：（I）由乙图看出，t=0时刻质点经过平衡位置向下运动．简谐横波沿x轴正向传播，
A、图示时刻a点向上运动，经过

3

4

个周期后，a点到达波谷，位移达到负向最大，与乙图t=0时刻振动情况不符．故A错误．
B、经过

3

4

个周期后，b点到达平衡位置向下运动，与乙图t=0时刻振动情况相符．故B正确．
C、图示时刻c点向下运动，经过

3

4

个周期后，a点到达波峰，位移达到正向最大，与乙图t=0时刻振动情况不符．故C错误．
D、经过

3

4

个周期后，b点到达平衡位置向上运动，与乙图t=0时刻振动情况不符．故D错误．
故选B
（II）（1）设光线a'a射入外球面，沿ab方向射向内球面，
刚好发生全反射，则 sinC=

1

n

=

1

2

∴C=45°
在△Oab中，Oa=

2

R，Ob=R
∴

sin(180°-C)

2 R

=

sinr

R

，sinr=

sinC

2

=

1

2

即 r=30°，则∠θ=C-r=45°-30°=15°
又∠O'Oa=i，由 

sini

sinr

=n，得sini=nsinr=

2

2

∴i=45°
即∠O'Ob=i+θ=45°+15°=60°
当射向外球面的入射光线的入射角小于i=45°时，这些光线都会射出内球面．因此，以OO'为中心线，上、下（左、右）各60°的球壳内有光线射出．
（2）由图中可知，h=R′sini=

2

R?

2

2

=R，
所以，至少用一个半径为R的遮光板，圆心过OO'轴并垂直该轴放置，才可以挡住射出球壳的全部光线，这时球壳内部将没有光线射出．
故答案为：
（Ⅰ）B
（Ⅱ）（1）球壳内部有光线射出的区域为：以OO'为中心线，上、下（左、右）各60°的圆锥球壳内．
（2）一个半径为R的遮光板，圆心过OO'轴并垂直该轴放置，才可以挡住射出球壳的全部光线．

点评：第1题要能根据波的传播方向确定质点的振动方向，由振动图象读出质点的速度方向．第2题作出光路图，充分运用数学上正弦定理和几何知识研究光路．