Question

如图甲所示，在整个矩形区域MNPQ内有由M指向N方向的匀强电场E（图甲中未画出）和垂直矩形区域向外的匀强磁场B（图甲中未画出），E和B随时间变化的规律如图乙所示在t=0时刻，将带正电、比荷为25C/kg的粒子从MQ的中点无初速释放，粒子在第8s内经NP边离开矩形区域已知MQ边足够长，粒子重力不计，

1

π

=0.32．
（1）求矩形区域PQ边长满足的条件；
（2）若要粒子从MQ边飞出，释放粒子的时刻t应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）带电粒子在电场中做匀加速直线运动，在磁场中做匀速圆周运动．根据牛顿第二定律和运动学公式得到前7s内粒子的位移．再根据条件：第8s内从NP边离开矩形区域，由几何关系分析矩形区域PQ边长满足的条件；
（2）由运动学公式求出粒子在电场中运动的总时间表达式，由洛伦兹力提供向心力得到磁场中运动的轨迹半径，根据粒子要从MQ边飞出半径与位移的关系，求解释放粒子的时刻t应满足的条件．

解答：解：（1）第1s内粒子在电场力的作用下作匀加速直线运动，设加速度为a，由牛顿第二定律有：
  a=

qE

m

  ①
第2s内粒子在库仑力作用下作匀速圆周运动，
有：T=

2πm

qB

  ②
代入已知数据可得：T=1s，所以可得粒子在1s、3s、5s、7s内作匀加速运动，2s，4s，6s内作匀速圆周运动．
可作出粒子在第8s内刚好不从NP边离开矩形区域的运动示意图，如图所示．粒子在奇数秒内的整体运动可以等效为初速度为0的匀加速直线运动． 
设前7s内的位移为s₇，s7=

1

2

a(7-3)2  ③
设粒子第7s末的速度为υ₇，第8s内粒子圆周运动的半径为R₈，有：
 υ₇=a（7-3），
 qυ7B=m

υ72

R8

  ④
由图可知，粒子要在第8s内从NP边离开矩形区域，要满足s₇＜L_NP＜s₇+R₈ ⑤
由以上各式联立求解，可得：8m＜L_NP＜8.64m；  
（2）设在第1秒内的t₀时刻释放粒子，则第1s内粒子在电场力的作用下加速时间为1-t₀，第1s内的位移为s₀，第1s末的速度大小为υ₀，由运动学方程有：s0=

1

2

a(1-t0)2  ⑥
 υ₀=a（1-t₀） ⑦
粒子在磁场中作匀速圆周运动，设圆周运动的半径为r₀，有：qυ0B=m

υ 2 0

r0

  ⑧
要粒子从MQ边界飞出，则r₀＞s₀⑨
由⑥～⑨式可得：t＞0.68s；
结合电场和磁场的周期性可得要粒子从MN边飞出，粒子释放的时刻t满足：（2n+0.68）s＜t＜（2n+1）s   （n∈N）．
答：
（1）矩形区域PQ边长满足的条件是：8m＜L_NP＜8.64m；
（2）若要粒子从MQ边飞出，释放粒子的时刻t应满足的条件是：（2n+0.68）s＜t＜（2n+1）s （n∈N）．

点评：分析粒子的受力情况，判断其运动情况是解决本题的基础，关键要画出轨迹，运用几何关系分析相关的条件．