Question

6．在水平长直的轨道上 有一长度为L的平板车，将一质量为m=1kg的小滑块在下列情形下轻放在平板车上表面的中点
（1）若平板车在外力控制下始终保持速度v₀=4m/s做匀速直线运动，小滑块最终相对小车静止，滑块和车因摩擦产生的内能为多少？
（2）已知滑块与车面间动摩擦因数μ=0.2，车长L=2m，平板车在外力控制下保持速度v₀=4m/s速度不变，取g=10m/s²，当滑块放到车面中点的同时对该滑块施加一个与车运动方向相同的恒力F，要保证滑块不能从车的左端掉下，恒力F应该在什么范围？
（3）在（2）的情况下，力F取最小值，要保证滑块不从车上掉下，力F的作用时间应该在什么范围内？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律和运动学公式求出滑块相对车滑动的距离，再利用功能关系求出滑块和车因摩擦产生的内能；
（2）由牛顿第二定律可求得滑块运动的加速度，而当滑块恰好到达小车的左端时恰好与小车速度相同，即可保证滑块不从车的左端掉下，则由临界条件可求得F的条件；
（3）由牛顿第二定律可求得滑块有力作用和撤去拉力后的加速度，则由平均速度公式可求得滑块的距离，由速度公式可求得小车的位移，由临界条件可得出两位移间的关系即可求得力F作用时间的范围．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律可得，f=μmg=ma
则滑块相对车滑动时的加速度：a=μg，
滑块相对车滑动的时间：t=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{{v}_{0}}{μg}$，
此时滑块的位移：x₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$，
小车的位移：x₂=v₀t=$\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}$，
则滑块相对车滑动的距离：
△x=x₂-x₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}$-$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$，
则滑块与车因摩擦产生的内能：
Q=μmg△x=μmg×$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$=$\frac{{mv}_{0}^{2}}{2}$=8J．
（2）滑块向右做初速为零的匀加速运动，设加速度为a₁，在到达车左端前应加速至v₀：
滑块加速至于车相同速度的时间：t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$…①，
滑块恰不从左端离开的条件：
v₀t₁-$\frac{{v}_{0}{t}_{1}}{2}$≤$\frac{L}{2}$••②
由牛顿第二定律有：
F₁+μmg=ma₁ …③
联立①②③式代入数据解得：t₁=0.5s，F₁≥6N．
（3）当滑块运动到车左端后，为使滑块恰不从右端滑出，相对车先做匀加速运动（设运动加速度为a₂，时间为t₂），
再做匀减速运动（设运动加速度大小为a₃），到达车右端时，与车达共同速度，则有：
F₁-μmg=ma₂…④
μmg=ma₃…⑤
$\frac{1}{2}$a2${t}_{2}^{2}$+$\frac{（{a}_{2}{t}_{2}）^{2}}{2{a}_{3}}$=L…⑥
联立④⑤⑥式代入数据解得：t₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$s≈0.58s，
则力F的作用时间t应满足：t₁≤t≤t₁+t₂，
即：0.5s≤t≤1.08s．
答：（1）滑块和车因摩擦产生的内能为8J；
（2）要保证滑块不能从车的左端掉下，恒力F应该大于等于6N；
（3）在（2）的情况下，力F取最小值，要保证滑块不从车上掉下，力F的作用时间0.5s≤t≤1.08s．

点评 本题是一个多过程问题，关键是理清物体在整个过程中的运动情况，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解，对物体运动的正确判断；
物体从端不滑下的前提是车的位移减去物体的位移小于车身长度的一半，物体不从右端滑出，物体在力F作用下加速运动，当撤去F后，物体在滑动摩擦力作用下做减速直线运动，当速度与车相同时，注意车和物体的位移关系．