Question

如图所示，ABCD是T形架，B为AC的中点，BD与AC垂直．已知ABC是质量m₁=10kg的匀质硬木板，BD是质量m₂=5kg的匀质硬木柱，且BD=0.6m，D端用光滑的铰链与地面连接，木板与水平地面的夹角为37°．小钢块质量m₃=3kg，与木板间的动摩擦因数μ=0.75．小钢块先在外力F=38.4N作用，从静止开始沿木板加速向上运动，一段时间后撤去外力F，小钢块继续沿木板运动至A且速度恰好变为零，T形架始终处于平衡状态．（取sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）木板C端所受支持力的最小值．
（2）外力F与AC间的夹角为多大时，外力F作用的时间最短？
（3）外力F作用的最短时间．

Answer 1

【答案】分析：（1）小钢块位于A位置时，木板C端所受的支持力最小，以D点为支点，受力分析后，根据力矩平衡条件求解出C点的支持力；
（2）要让外力F作用的时间最短，则应使外力作用时，小钢块的加速度最大，受力分析后根据牛顿第二定律列式判断；
（3）求解出拉力F作用下和撤去后的加速度，然后根据运动学公式列式求解．
解答：解：（1）小钢块位于A位置时，木板C端所受的支持力最小．
T型架受力如图（甲）所示，其力矩平衡．
由小钢块的受力，可知  N=m₃gcos37°   
求得C 端所受支持力的最小值  N_C=15N  

（2）要让外力F作用的时间最短，则应使外力作用时，小钢块的加速度最大．
小钢块的受力如图（乙），设F与AC的夹角为 β，则
平行AC方向：Fcosβ-m₃gsinβ-μN=m₃a₁   
垂直AC方向：N+Fsinβ=m₃gcosβ   
联立，得
a₁=-gsinθ-μgcosθ=cos（β-α）-gsinθ-μgcosθ，

式中α=arctan μ  （见上图）
因此，当F与AC的夹角β=α=arctanμ=arctan0.75=37°时，加速度a₁最大，外力F作用的时间最短．   
（3）由（1）知  a_1max=-g （ sinθ+μ cosθ ）=4m/s²    
撤去拉力后，a₂=g （sinθ+μ cosθ ）=12m/s²   
又  ，m   
由  ，得外力F作用的最短时间 t₁=0.77s  
答：（1）木板C端所受支持力的最小值为15N．
（2）外力F与AC间的夹角为37°时，外力F作用的时间最短；
（3）外力F作用的最短时间为0.77s．
点评：本题关键是明确滑块和滑板的受力情况、滑块的运动情况，然后根据力矩平衡条件、牛顿第二定律、运动学公式联立求解，较难．