Question

2．如图所示，在第一象限内有垂直纸面向里和向外的匀强磁场，磁感应强度分别为B₁=0.1T、B₂=0.05T，分界线OM与x轴正方向的夹角为α．在第二、三象限内存在着沿x轴正方向的匀强电场，电场强度E=1×10⁴V/m．现有一带电粒子由x轴上A点静止释放，从O点进入匀强磁场区域．已知A点横坐标x_A=-5×10^-2m，带电粒子的质量m=1.6×10^-24kg，电荷量q=+1.6×10^-15C．
（1）要使带电粒子能始终在第一象限内运动，求α的取值范围？（用反三角函数表示）
（2）如果α=30°，则粒子能经过OM分界面上的哪些点？
（3）如果α=30°，让粒子在OA之间的某点释放，要求粒子仍能经过（2）问中的那些点，则粒子释放的位置应满足什么条件？

Answer 1

分析 带电粒子在组合场中的运动问题，首先要运用动力学方法分析清楚粒子的运动情况．粒子在电场中做匀加速直线运动，根据直线运动公式求出粒子进入磁场的速度．粒子在磁场中圆周运动，根据磁场强度的关系，求出半径值比，正确画出轨迹，由几何知识及三角函数求解．

解答 解：（1）粒子进入匀强磁场后，做匀速圆周运动．设在B₁中运动的半径为r₁，在B₂中运动的半径为r₂，
由$qvB=m\frac{v^2}{r}$
B₁=2 B₂
得  r₂=2r₁
由几何关系解得  $α＜\frac{π}{2}-\frac{1}{2}arcsin\frac{2}{3}$
（2）当α=30°时，粒子每次在任意一个磁场中运动的圆弧的圆心角均为60°，弦长均等于半径．
粒子在电场中运动  $qE{x_A}=\frac{1}{2}m{v^2}$
粒子在磁场中运动 ${r_1}=\frac{mv}{{q{B_1}}}$
解得：
${r_1}=1×{10^{-2}}m$
${r_2}=2{r_1}=2×{10^{-2}}m$
OM上经过的点距离O点的距离是$l=k{r_1}+（k-1）{r_2}=（3k-2）{r_1}=（3k-2）×{10^{-2}}m$（k=1、2、3…）
或 $l=k'（{r_1}+{r_2}）=3k'×{10^{-2}}m$（k′=1、2、3…）
（3）要仍然经过原来的点，需满足 ${r_1}=n（{r_1}^′+{r_2}^′）$（n=1、2、3…）
解得  $r'=\frac{r_1}{3n}$即$v'=\frac{v}{3n}$
粒子释放的位置应满足 ${x_A}^′=\frac{x_A}{{9{n^2}}}$（n=1、2、3…）
或者 ${r_1}=n'（2{r_1}^{′′}+{r_2}^{′′}）$（n′=1、2、3…）   
解得，$r''=\frac{r_1}{4n'}$即$v''=\frac{v}{4n'}$
粒子释放的位置应满足${x_A}^{′′}=\frac{x_A}{{16{{n'}^2}}}$（n′=1、2、3…）
答：（1）要使带电粒子能始终在第一象限内运动，求α的取值范围为$α＜\frac{π}{2}-\frac{1}{2}arcsin\frac{2}{3}$；
（2）如果α=30°，则粒子能经过OM分界面上的哪些点（3k-2）×10^-2m（k=1、2、3…）或3k′×10^-2（k′=1、2、3…）；
（3）如果α=30°，让粒子在OA之间的某点释放，要求粒子仍能经过（2）问中的那些点，则粒子释放的位置应满足${x}_{A}^{′}=\frac{{x}_{A}}{{9n}^{2}}$或${x}_{A}^{″}=\frac{{x}_{A}}{16{{n}^{′}}^{2}}$．

点评 此题考查了粒子在复合场中的运动，需考生熟练掌握圆周运动的公式及应用．首先根据题意，画出粒子的运动轨迹，找到临界值，求出角度．根据草图找出粒子经过哪些点，通过分析得出数学规律．