题目内容

11．如图甲所示，竖直线MN左侧存在水平向右的匀强电场，MN右侧存在垂直纸面的均匀磁场，磁感应强度B随时间t变化规律如图乙所示，O点下方竖直距离d=23.5cm处有一垂直于MN的足够大的挡板．现将一重力不计、比荷$\frac{q}{m}$=106 C/kg的正电荷从O点由静止释放，经过△t=$\frac{π}{15}$×10-5s后，电荷以v0=1.5×104m/s的速度通过MN进入磁场．规定磁场方向垂直纸面向外为正，t=0时刻电荷第一次通过MN，忽略磁场变化带来的影响．求：
（1）匀强电场的电场强度E的大小；
（2）t=$\frac{4π}{5}$×10-5 s时刻电荷与O点的竖直距离△d；
（3）电荷从O点出发运动到挡板所需时间t．（结果保留两位有效数字）

分析 （1）由题意，正电荷从O点开始做匀加速直线运动，由运动学规律及牛顿第二定律可以求出电场强度大小．
（2）分别求出正电荷在交变磁场中做匀速圆周运动的半径和周期，从而描绘出正电荷的运动轨迹，应该是周期性，由几何关系就能求出该时刻离O点的竖直距离△d．
（3）由上述计算可知：电荷到达挡板前运动的完整周期数为4个，此时电荷沿MN运动的距离s=4△d=16 cm，则最后△s=7.5cm，运动轨迹是一段优弧，由几何关系求出偏转角，加上前面的时间从而求出运动的总时间．

解答 解：（1）电荷在电场中做匀加速直线运动，有：
υ0=a△t
Eq=ma
解得：E=$\frac{m{v}_{0}}{q△t}$≈7.2×103 N/C
（2）由qυ0B=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$，T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$得：
r=$\frac{m{{v}_{0}}^{\;}}{qB}$，T=$\frac{2πm}{qB}$
当磁场垂直纸面向外时，半径r1=$\frac{m{{v}_{0}}^{\;}}{q{B}_{1}}$=0.05m              
周期T1=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$=$\frac{2π}{3}$×10-5 s           
当磁场垂直纸面向里时，半径r2=$\frac{{mv}_{0}}{q{B}_{2}}$═0.03m         
周期T2=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$=$\frac{2π}{5}$×10-5 s            
故电荷从t=0时刻开始做周期性运动，其运动轨迹如图1所示，t=$\frac{4π}{5}$×10-5s时
刻电荷与O点的竖直距离△d=2（r1-r2）=0.04m                     
（3）电荷从第一次通过MN开始计时，其运动周期为T=$\frac{4π}{5}$×10-5s
根据电荷的运动情况可知，电荷到达挡板前运动的完整周期数为4个，此时电
荷沿MN运动的距离s=4△d=0.16m，而最后△s23.5cm-16cm=0.075m的距离如图2所示，
有r1+r1cosα=△s
解得cosα=0.5，则α=60°
故电荷运动的总时间t总=△t+4T+$\frac{1}{3}$T1=$\frac{157π}{45}$×10-5 s≈1.1×10-4 s    
答：（1）匀强电场的电场强度E的大小为7.2×103 N/C．
（2）t=$\frac{4π}{5}$×10-5 s时刻电荷与O点的竖直距离△d为0.04m．
（3）电荷从O点出发运动到挡板所需时间为1.1×10-4 s．

点评 本题的关键是要求出正电荷在交变磁场中运动半径和周期，从而确定正电荷在交变磁场中的周期性运动的轨迹，再由几何关系求出距离和时间．

练习册系列答案
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