Question

15．如图所示，ABC为一固定的半圆形轨道，轨道半径R=0.4m，A、C 两点在同一水平面上，B点为轨道最低点．现从A点正上方h=2m的地方以v₀=4m/s的初速度竖直向下抛出一质量m=2kg的小球（可视为质点），小球刚好从A点切入半圆轨道．不计空气阻力，取g=10m/s²．
（1）以B点所在水平面为重力势能零势能面，求小球在抛出点的机械能；
（2）若轨道光滑，求小球运动到最低点B时，轨道对它支持力F的大小；
（3）若轨道不光滑，测得小球第一次从C点飞出后相对C点上升的最大高度h′=2.5m，求此过程中小球在半圆形轨道上克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）已知最高点的速度和高度，得出重力势能和动能即可求得机械能；
（2）对于整个过程，运用机械能守恒求解小球相对C点上升的最大高度；
（3）对于全过程，根据动能定理求解小球在半圆轨道上克服摩擦力所做的功．

解答 解：（1）小球在抛出点时的机械能为：
E=mg（h+R）+$\frac{1}{2}$mv²=20×（0.4+2）+$\frac{1}{2}×$2×16=64J 
（2）小球到最低点的速度为v_B，由动能定理得：
$mg（{h+R}）=\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
代入数据解得：v_B=8m/s
由牛顿运动定律得：$F-mg=m\frac{v_B^2}{R}$，
代入数据解得：F=340N       
（3）小球第一次从C点飞出后相对C点上升的最大高度时，由动能定理可知：
$mg（{h-h'}）-{W_{克f}}=0-\frac{1}{2}mv_0^2$
代入数据解得：W_克f=6J  
答：
（1）小球在抛出点的机械能为64J；
（2）小球运动到最低点B时，轨道对它支持力F的大小是340N；
（3）小球在半圆轨道上克服摩擦力所做的功为6J．

点评 轨道光滑时，往往物体的机械能守恒；对于有摩擦力的情况，根据动能定理求解摩擦力做功是常用的方法．