Question

如图所示，竖直平面内的

3

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圆弧形光滑轨道，轨道半径为R，A端与圆心等高，AD为水平面，B点在圆心的正下方，一小球m自A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入轨道，小球巧好能够通过最高点C，求：
（1）小球到B点时的速度v_B；
（2）释放点距A的竖直高度h；
（3）落点D与A的水平距离s．

Answer 1

分析：（1）小球恰能通过最高点C时，对轨道的压力为0，重力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求出C点的速度，从B点到C点运用动能定理，根据动能定理求出小球到B点时的速度v_B；
（2）从释放点到B点，运用动能定理列式，即可求得释放点距A的竖直高度h；
（3）小球离开C点做平抛运动，高度决定时间，根据时间和C点的速度求出水平距离．

解答：解：（1）小球恰好能够通过最高点C，在C点由重力提供向心力 mg=m

v 2 C

R

从B到C：-mg2R=

1

2

mv_C²-

1

2

mv_B²     
解得：v_B=

5gR

（2）出发点到B由动能定理得：mg（h+R）=

1

2

mv_B²      
解得：h=

3

2

R       
（3）设小球到达最高点的速度为v_C，从C到D，作平抛运动：s+R=v_Ct
  R=

1

2

gt²
由此可解得：s=（

2

-1）R 
答：（1）小球到B点时的速度v_B为

5gR

．（2）释放点距A的竖直高度h为

3

2

R；（3）落点D与A的水平距离s为（

2

-1）R．

点评：解决本题的关键知道球到达B点时对轨道的压力为0，有mg=m

v2

R

，以及能够熟练运用动能定理．