Question

如图，有一固定长度的木板C放在光滑水平面上，木板上面放置可视为质点的木块A、B，A、B、C的质量均相等．木块A、B相距0.2m，放在木板上适当的位置，它们与木板间的动摩擦因数相同均为μ=0.2，两物块均在同一直线上，开始时都处于静止状态．某时刻同时使物体A、B分别以速度v₀₁=3m/s、v₀₂=1m/s向相反方向运动，g取10m/s²，如图所示．问：
（1）在A、B同时运动的过程中，木板C的运动状态应该怎样？
（3）若A、B最终不滑离木板，最后它们的共同速度为多少？
（2）若要使A、B最终不滑离木板，木板C的长度至少为多少？

Answer 1

分析：A、B与木板间滑动摩擦力的大小相等，A、B木块分别向左、向右做匀加速运动，A、B对木板C的摩擦力大小相同，方向相反．
由动量守恒定律求得最后它们的共同速度．
在F₁、F₂作用下分别求出A、B的加速度，进而求出撤去外力时AB的位移和速度，撤去这两个力后，A、B的加速度大小相等，分别求出AB停止运动的时间，和运动的位移，根据位移之间的关系即可求解．

解答：解：（1）A、B与木板间滑动摩擦力的大小相等，A、B木块分别向左、向右做匀加速运动，A、B对木板C的摩擦力大小相同，方向相反，
所以在A、B同时向相反方向运动的过程中，木板C保持静止．   
（2）由动量守恒定律得：mv₀₁-mv₀₂=3mv      
得v=

2

3

（m/s）   
（3）A、B的加速度大小相等，a_A=a_B=μg=2m/s²
B先相对于C静止，运动时间t₁=

vB

aB

=0.5s，
此时A的速度，v_A1=v_A-a_A′t₁=2m/s    
这段时间C一直保持静止状态，A、B的位移分别为：sA=vAt -

1

2

aA

t

2

=

5

4

m
sB=

1

2

vBt=

1

4

m
以后B相对于木板静止，A继续减速运动，木板的加速度：
a_c=

μmAg

mB+mC

=1（m/s）  
设此后A与木板的相对运动时间为t₂，
v_A1-a_A′t₂=a_ct₂
t₂=

2

3

（s）     
在t₂时间内，A与木板相对运动距离△s=

2

3

（m）
木板的最小长度 s=s₀+s₁+s₂+s₃=2.37（m）     
另一种方法：直接用动量守恒定律和能量转化方程．
由动量守恒定律得：mv₀₁-mv₀₂=3mv      
得v=

2

3

（m/s）
当B相对地速度为0后，BC一起向左加速，直至三者速度相等．
当v_B=0时，由动量守恒定律得：mv₀₁-mv₀₂=mv₁+0
得：v₁=2m/s
因为

.

vB

=

1

2

（m/s），

.

vA

=

5

2

（m/s），
所以s₁=2 s₂
由能量关系得：

1

2

m(

v

2 01

+

v

2 02

)-

1

2

m

v

2 1

=μmg(s1+s2)
得：s₁=1.25（m），s₂=0.25（m）
BC相对静止后，

1

2

m

v

2 1

-

1

2

3m

v

2

=μmgs3
s₃=

2

3

（m）
L=s₀+s₁+s₂+s₃=2.37（m）
答：（1）在A、B同时运动的过程中，木板C保持静止
（2）若A、B最终不滑离木板，最后它们的共同速度为

2

3

（m/s） 
（3）若要使A、B最终不滑离木板，木板C的长度至少为2.37（m）

点评：本题是相对运动的题目，要求同学们能正确分析物体的受力情况和运动情况，根据牛顿第二定律及运动学基本规律解题，难度较大．