Question

9．如图所示，一水平方向的传送带以恒定的速度v=2m/s沿顺时针方向匀速转动，传送带右端固定着一光滑的四分之一圆弧面轨道，并与弧面下端相切．一质量为m=1kg的物体自圆弧面轨道的最高点由静止滑下，圆弧面轨道的半径R=0.45m，物体与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.2，不计物体滑过曲面与传送带交接处时的能量损失，传送带足够长，g=10m/s²．求：
（1）物体第一次从滑上传送带到离开传送带所经历的时间；
（2）物体第一次从滑上传送带到离开传送带的过程中，传送带对物体做的功及由于摩擦产生的热量．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律求出滑块滑上传送带的速度，滑上传送带先做匀减速直线运动到零，然后返回做匀加速直线运动达到传送带速度一起做匀速运动，根据牛顿第二定律和运动学公式求出物体从第一次滑上传送带到离开传送带所经历的时间；
（2）根据动能定理通过物体的初末速度，求出物体从第一次滑上传送带到离开传送带的过程中，传送带对物体做的功．根据运动学公式求出相对路程的大小，从而根据Q=f△x求出摩擦产生的热量．

解答 解：（1）沿圆弧面轨道下滑过程中机械能守恒，设物体滑上传送带时的速度为v₁，则
  mgR=$\frac{1}{2}$mv₁²，得v₁=3 m/s
物体在传送带上运动的加速度 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=2 m/s²
物体在传送带上向左运动的时间 t₁=$\frac{{v}_{1}}{a}$=1.5 s
向左滑动的最大距离 s=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$=2.25 m
物体向右运动速度达到v时，向右运动的距离 s₁=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=1 m
所用时间t₂=$\frac{v}{a}$=1 s，匀速运动的时间 t₃=$\frac{s-{s}_{1}}{v}$=0.625 s
所以t=t₁+t₂+t₃=3.125 s．
（2）根据动能定理，传送带对物体做的功：
W=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₁²=-2.5 J
物体相对传送带运动的位移△x=$\frac{{v}^{2}-{v}_{1}^{2}}{-2a}$+v（t₁+t₂）=6.25 m
由于摩擦产生的热量 Q=μmg△x=12.5 J．
答：
（1）物体第一次从滑上传送带到离开传送带所经历的时间是3.125s；
（2）物体第一次从滑上传送带到离开传送带的过程中，传送带对物体做的功是-2.5J，由于摩擦产生的热量是12.5J．

点评 解决本题的关键理清物体的运动过程，知道物体的运动规律，结合动能定理、牛顿第二定律和运动学公式进行求解．