Question

6．如图，一轻杆两端各固定一个小球A、B，质量均为0.2kg，可绕水平固定转轴O点在竖直平面内转动．A到O点距离l₁=20cm，B到O点距离l₂=40cm．O点下方有一个水平向左、大小E=10⁴N/C的匀强电场，B球电荷量q=5×10^-5C，A球不带电．重力加速度g=10m/s²．求：
（1）系统力矩平衡时，轻杆与竖直方向的夹角α；
（2）系统在什么位置静止释放能使系统在力矩平衡位置获得的总动能最大，以及最大总动能的值；
（3）将轻杆转至水平静止释放，通过讨论和计算说明系统能否在竖直平面内连续转动．

Answer 1

分析 （1）系统力矩平衡，根据力矩平衡求解
（2）B球在上、A球在下，杆在竖直位置静止释放，顺时针转动到力矩平衡处总动能最大，根据动能定理列式求解；
（3）根据动能定理列式后讨论得出结果．

解答 解：
（1）力矩平衡：m_Bgl₂sinα=Eql₂cosα+m_Agl₁sinα，
tanα=$\frac{1}{2}$；  
α=arctan$\frac{1}{2}$；                      
（2）B球在上、A球在下，杆在竖直位置静止释放，顺时针转动到力矩平衡处总动能最大（B球受到的电场力做功最大且系统重力做功最大），
W_总=m_Bgl₂（1+cosα）-m_Agl₁（1+cosα）+Eql₂（1+sinα）=△E_k，
${E_{kmax}}=\frac{{3+\sqrt{5}}}{5}$J=1.047J；  
（3）讨论：
Ⅰ．A球在左、B球在右，轻杆静止释放，转到A球在最低点、B球在最高点时系统动能减为零：W_总=Eq2l₂-m_Bgl₂+m_Agl₁=0；        
Ⅱ．B球在左、A球在右，轻杆静止释放，转到B球在O点右下方、设轻杆与竖直方向夹角为β时系统动能减为零：W_总=-Eql₂（1+sinβ）+m_Bgl₂cosβ-m_Agl₁cosβ=△E_k=0，
可得：2cosβ=1+sinβ
则：$β=arctan2-arcsin\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；          
综上所述，系统不能在竖直平面内连续转动．       
（1）系统力矩平衡时，轻杆与竖直方向的夹角为arctan$\frac{1}{2}$；
（2）系统在竖直位置静止释放能使系统在力矩平衡位置获得的总动能最大，最大总动能为1.047J；
（3）将轻杆转至水平静止释放，通过讨论和计算说明系统不能在竖直平面内连续转动．

点评 此题考查力矩平衡和动能定理的应用，注意选取过程，属于难题．