Question

19．为确保行车安全，在高速公路的不同路段都会竖有限速指示牌．若有一段直行连接弯道的路段，其弯道半径R为60m，弯道路面的倾斜角度θ为6°，最大静摩擦力为压力的μ=0.4倍．假定直行路段    的限速为120km/h，限速指示牌的可见视野为100m，驾驶员的操作反应时间为2s，为保持平稳减速，限定最大减速加速度为2.5m/s²．已知tan6°=0.1，g=10m/s²，试计算：（结果可用根号表示）
（1）要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即沿公路内外两侧）等于零，则汽车转弯时的车速为多大？
（2）弯道处指示牌应标注的限速为多少？
（3）至少应该在弯道前多少距离处设置限速指示牌．

Answer 1

分析 （1）抓摩擦力为零，根据重力和支持力的合力提供向心力求出汽车的速度．
（2）弯道处重力、支持力和静摩擦力的合力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解；
（3）根据速度位移关系公式列式求解求解出减速位移和反应时间内的位移后结合几何关系求解

解答 解：（1）汽车恰好没有沿公路内外两侧滑动的趋势时，汽车重力与路面支持力的合力恰好作为汽车转弯所需向心力，则  mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，故v=$\sqrt{gRtanθ}$=$\sqrt{10×60×0.1}$m/s≈7.74 m/s
（2）弯道最高车速时受力如图所示，则
mg+F_fsinθ=F_Ncosθ
F_Nsinθ+F_fcosθ=m$\frac{v2}{R}$，
F_f=μF_N
联立解得：v=$\sqrt{312.5}$m/s≈17.7m/s=63.72 km/h
即指示牌应标注的限速为63 km/h．
（3）直行路段的限速v₂=120 km/h=33.3 m/s，v₁=17.7 m/s
由${{v}_{2}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}=2as$得，求得：s=159m，
反应时间内车通过的距离：l=v₂t=33.3×2m=66.6m
则x=159+66.6-100m=125.6m．
应该在弯道前125.6m距离处设置限速指示牌．
答：（1）汽车转弯时的车速为7.74m/s；
（2）弯道处指示牌应标注的限速为63km/h；
（3）至少应该在弯道前125.6m处置限速指示牌．

点评 本题关键受力分析后，根据向心力公式和牛顿第二定律列式求解限速速度；同时结合运动学公式进行分析．