Question

16．已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v₂=$\sqrt{\frac{2Gm}{R}}$，其中G、m、R分别是引力常量、地球的质量和半径．已知G=6.67×10^-11N•m²/kg²，c=2.9979×10⁸ m/s．求下列问题：
（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫作黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量m=1.98×10³⁰ kg，求它的可能最大半径；
（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10^-27 kg/m³，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？

Answer 1

分析 （1）任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速，根据c≤$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$ 即可求解；
（2）根据质量与密度的关系先求出质量，根据（1）的分析即可求解．

解答 解：（1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v₂=$\sqrt{\frac{2Gm}{R}}$，
其中m、R为天体的质量和半径．对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速，
即v₂＞c，
则R＜$\frac{2Gm}{c^2}$=$\frac{{2×6.67×{{10}^{-11}}×1.98×{{10}^{30}}}}{{{{（2.9979×{{10}^8}）}^2}}}$m=2.94×10³ m，
即质量为1.98×10³⁰ kg的黑洞的最大半径为2.94×10³ m．
（2）把宇宙视为普通天体，则其质量m=ρ•V=ρ•$\frac{4}{3}$πR^3------①
其中R 为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度，则宇宙的逃逸速度为v₂=$\sqrt{\frac{2Gm}{R}}$------②
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c，即v₂＞c-------③
则由以上三式可得
R＞$\sqrt{\frac{{3{c^2}}}{8πρG}}$=4.01×10²⁶ m，合4.24×10¹⁰光年．
即宇宙的半径至少为4.24×10¹⁰光年；
答：（1）它的可能最大半径为2.94×10³ m．
（2）宇宙的半径至少应为4.24×10¹⁰光年．

点评 本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速．