Question

14．如图，AB 是一段粗糙的固定斜面μ=$\frac{7}{12}$，长度s=1m，与水平面的倾角θ=53°．另有一固定竖直放置的光滑圆弧形轨道刚好在B点与斜面相切，圆弧形轨道半径R=0.3m，O点是圆弧轨道的圆心．将一质量m=0.2kg的小物块从A点由静止释放，经过B点、和最低C点．重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6，不计空气阻力．求：
（1）小物块运动到B点时的速度大小？
（2）小物块到C点时对轨道压力的大小？
（3）分析说明小物块能否通过圆轨道的最高点D？

Answer 1

分析 （1）小物块沿倾斜轨道下滑时只有重力和摩擦力对物块做功，根据动能定理求得小物块滑到B点时的速度；
（2）从B到C点过程中只有重力做功，根据动能定理求得在C点时的速度，再由牛顿第二一定律求得C点时对轨道的压力大小；
（3）假定小物块能到达D时，根据动能定理求得在D点的速度，再根据能通过最高点的临界条件判断能否通过最高点．

解答 解：（1）小球沿斜面下滑时只有重力和摩擦力做功，根据摩擦定律由动能定理可得：
$mgssinθ-μmgscosθ=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-0$
由此代入数据可解得：${v}_{B}=\sqrt{2gssinθ-2μgscosθ}$=3m/s；
（2）从B到C只有重力对物块做功，根据动能定理有：
$mgR（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$     ①
在最低点C，轨道对物块的支持力与物块重力的合力提供圆周运动向心力有：
$F-mg=m\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$   ②
代入v_B由①②两式可解得：F=9.6N
根据牛顿第三定律可知，小物块在C点时对轨道的压力为9.6N；
（3）假定小球通通过最高点D，根据动能定理小球从B到D过程中有：
-mgR（1+cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入数据可解得：v_D=$\sqrt{-0.6}$，显然可知，小球不能到达最高点D．
答：（1）小物块运动到B点时的速度大小为3m/s；
（2）小物块到C点时对轨道压力的大小为9.6N；
（3）小物块不能通过圆轨道的最高点D．

点评 正确的对物体进行受力分析和做功分析，由动能定理求解物体的速度，掌握竖直面内圆周运动通过最高点的临界条件是正确解题的关键．