Question

现有放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，如图所示．滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L=3m，圆弧形轨道APD和BQC均光滑，BQC的半径为r=1m，APD的半径为R=2m，AB、CD与两圆弧形轨道相切，O₂A、O₁B与竖直方向的夹角均为θ=37°．现有一质量为m=1kg的小环穿在滑轨上，以E_k0的初动能从B点开始沿BA向上运动，小环与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ=

1

3

，设小环经过轨道连接处均无能量损失．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）试求：
（1）小环在AB上从B点开始沿BA向上运动过程中，小环的加速度大小．
（2）要使小环完成一周运动回到B点，初动能E_K0至少多大？
（3）若小环以上问中的最小初动能E_K0从B点出发后，在CD段上运动的总路程．

Answer 1

分析：（1）对小环进行受力分析即可求出小环的加速度大小；
（2）小环必须能够通过APD的最高点，然后判断从最高点下来后能否到达B点即可；
（3）对整个过程由动能定理即可求出在CD段上运动的总路程．

解答：解：（1）小环沿AB杆向上运动过程中有
ma=mgsinθ+μmgcosθ                          
带入数值得：a=

26

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m/s2≈8.67m/s²                           
（2）小环若要经过大圆最高点，则有
E_KB=mg（2R-r-rcosθ）+μmgLcosθ                      
E_KB=30J
判断小环初速为0从大圆环最高点左侧下来能否再到达B点：
mg2R-mgμL-mg（r+rcosθ）＞0    
所以能再到B点
所以最小初动能E_K0=30J  
（3）小环第一次回到B点过程中，克服摩擦做功为：
W=μmgL+μmgLcosθ
W=18J                                              
小环第2次回到B的动能E_KB2=E_K0-W=12J         
设沿AB杆继续上滑的最大距离为x，
E_KB2=mgxsinθ+μmgxcosθ
得：x=

18

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m                                     
第3次经过B的动能
E_KB3=E_KB2-2μmgxcosθ=

180

39

J                 
小球第2次到CD杆后，因能量小无法再运动到AB杆，因而
E_KB3+mgr（1+cosθ）=μmgs
得：S=6.78m
所以 S_总=L+S=9.78m     
答：（1）小环在AB上从B点开始沿BA向上运动过程中，小环的加速度大小为8.67m/s²，
（2）要使小环完成一周运动回到B点，初动能E_K0至少为30J，
（3）若小环以上问中的最小初动能E_K0从B点出发后，在CD段上运动的总路程为9.78m．

点评：此题比较综合，涉及的运动学知识点比较多，这也是高考的趋势，需要不断加强此方面的练习．