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精英家教网如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置,滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成,其中倾斜直轨AB与水平直轨CD长均为L=3m,圆弧形轨道APD和BQC均光滑,AB、CD与两圆弧形轨道相切,BQC的半径为r=1m,APD的半径为R=2m,O2A、O1B与竖直方向的夹角均为θ=37°.现有一质量为m=1kg的小球穿在滑轨上,以Ek0的初动能从B点开始沿AB向上运动,小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ=
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,设小球经过轨道连接处均无能量损失.(g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8)求:
(1)要使小球能够通过弧形轨道APD的最高点,初动能EK0至少多大?
(2)求小球第二次到达D点时的动能;
(3)小球在CD段上运动的总路程.(第(2)(3)两问中的EK0取第(1)问中的数值)
分析:(1)要使小球能够向上运动并回到B点,有两个临界条件的要求:一是要使小球能够通过圆弧APD的最高点,二是通过了圆弧APD的最高点后还能够再次到达B点.根据能量守恒分别求出小球恰好通过圆弧APD的最高点以及恰好到达B点时的初动能,比较两种情况下的初动能,从而得出初动能EK0的最小值.
(2)根据动能定理求出小球从B点出发又回到B点时的动能,根据动能定理判断其能上升的最大高度,若不能上滑到最高点,由于重力的分力大于滑动摩擦力,小球会下滑,求出小球在AB杆上摩擦产生的热量.根据能量守恒求出第二次经过D点的动能.
(3)通过第二问解答知小球能够第二次到达D点,根据能量守恒定律讨论小球能否第二次通过D点返回后上升到B点,从而确定小球的运动情况,最后根据动能定理求出小球在CD段上运动的总路程.
解答:解:(1)小球至少需要越过弧形轨道APD的最高点,
根据动能定理:-mg[(R-Rcosθ)+Lsinθ]-μmgLcosθ=0-EK0
代入数值解得:Ek0=30J;
(2)从B点出发到小球第一次回到B点的过程中,
根据动能定理:-μmgLcosθ-μmgL=EKB-EK0
解得:EkB=12J,
小球沿AB向上运动到最高点,距离B点为s,
则有:EkB=μmgscosθ+mgssinθ,
解得:s=
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m,
小球继续向下运动,当小球第二次到达D点时动能为EKD
mg[(r+rcosθ)+s?sinθ]-μmgscosθ-μmgL=EKD-0,
解得:EKD≈12.6J;
(3)小球第二次到D点后还剩12.6J的能量,沿DP弧上升后再返回DC段,
到C点只剩下2.6J的能量.因此小球无法继续上升到B点,
滑到BQC某处后开始下滑,之后受摩擦力作用,小球最终停在CD上的某点.
由动能定理:EKD=μmgs1
解得:s1=3.78m,
小球通过CD段的总路程为S=2L+s=9.78m;
答:(1)要使小球能够通过弧形轨道APD的最高点,初动能EK0至少为30J;
(2)小球第二次到达D点时的动能12.6J;
(3)小球在CD段上运动的总路程为9.78m.
点评:本题过程较复杂,关键是理清过程,搞清运动规律,合适地选择研究的过程,运用动能定理和能量守恒定律进行解题.
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