Question

如图是放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，水平直轨AB，半径分别为R₁=1.0m和R₂=3.0m的弧形轨道，倾斜直轨CD长为L=6m且表面粗糙，动摩擦因数为
μ=

1

6

，其它三部分表面光滑，AB、CD与两圆形轨道相切．现有甲、乙两个质量均为m=2kg的小球穿在滑轨上，甲球静止在B点，乙球从AB的中点E处以v₀=10m/s的初速度水平向左运动．两球在整个过程中的碰撞均无能量损失且碰撞后速度交换．已知θ=37°，（取
g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）甲球第一次通过O₂的最低点F处时对轨道的压力
（2）在整个运动过程中，两球相撞次数
（3）两球分别通过CD段的总路程．

Answer 1

分析：（1）甲乙两球在发生碰撞过程由动量守恒和能量守恒列出等式，再根据牛顿第二定律求解
（2）滑环在CD轨道上运动时，由于克服摩擦力做功而减小动能，产生内能；由能量守恒定律可求得通过最点高的次数；
（3）圆环最后只能在DF之间滑动，则由能量守恒定律可求得滑环克服摩擦力做功的总路程．

解答：解：（1）甲乙两球在发生碰撞过程由动量守恒和能量守恒可得：
mv₀=mv₁+mv₂

1

2

mv

2 0

=

1

2

mv

2 1

+

1

2

mv

2 2

可得：
v₁=0，v₂=v₀或v₁=v₀，v₂=0（舍去）
即交换速度．甲球从B点滑到F点的过程中，根据机械能守恒得：

1

2

mv

2 2

+mg△h=

1

2

mv

2 F

在F点对滑环分析受力，得
F_N-mg=m

v 2 F

R2

由上面二式得：F_N=

500

3

N
根据牛顿第三定律得滑环第一次通过⊙O₂的最低点F处时对轨道的压力为

500

3

N
（2）由几何关系可得倾斜直轨CD的倾角为37°，甲球或乙球每通过一次克服摩擦力做功为：
W_克=μmgLcosθ，得
W_克=16J
E_k0=

1

2

mv

2 0

n=

Ek0

W克

=6.25
分析可得两球碰撞7次
（3）由题意可知得：滑环最终只能在O₂的D点下方来回晃动，即到达D点速度为零，
由能量守恒得：

1

2

mv

2 0

+mgR₂（1+cosθ）=μmgscosθ
解得：滑环克服摩擦力做功所通过的路程s=78m
分析可得乙3次通过CD段，路程为18m，所以甲的路程为60m
答：（1）甲球第一次通过O₂的最低点F处时对轨道的压力为

500

3

N
（2）在整个运动过程中，两球相撞7次
（3）乙通过CD段路程为18m，甲的路程为60m．

点评：本题考查动量守恒、能量守恒及机械能守恒定律的应用，了解研究对象的运动过程是解决问题的前提，对于多过程我们要分开求解．