Question

19．如图所示，半径R=0.1m、内径很小的粗糙半圆管竖直置于水平地面上，质量为m=0.1kg的小球，以一定的初速度进入管内，通过最低点A时，对管壁下部的压力大小为10mg，通过最高点B时，对管壁上部的压力大小为3mg，求：
（1）小球通过最低点A的速度大小v_A与最高点B的速度大小v_B；
（2）小球从最高点飞出后到落地的水平位移大小；
（3）从A到B过程中，小球克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）在最高点和最低点，抓住竖直方向上的合力提供向心力，结合牛顿第二定律求出最低点A和最高点B的速度．
（2）根据高度求出平抛运动的时间，结合B点的速度求出落地的水平位移．
（3）对A到B的过程运用动能定理，求出小球克服摩擦力做功的大小．

解答 解：（1）对小球进行受力分析得，有：
${N}_{A}-mg=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，
${N}_{B}+mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
根据牛顿第三定律，N_A=10mg，N_B=mg，
代入数据解得v_A=3m/s，v_B=2m/s．
（2）根据$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{4R}{g}}=\sqrt{\frac{4×0.1}{10}}s=0.2s$，
则x=v_Bt=2×0.2m=0.4m．
（3）从A到B，根据动能定理得，$-mg•2R-{W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，
代入数据解得W_f=0.05J．
答：（1）小球通过最低点A的速度大小v_A为3m/s，最高点B的速度大小v_B为2m/s；
（2）小球从最高点飞出后到落地的水平位移大小为0.4m；
（3）从A到B过程中，小球克服摩擦力所做的功为0.05J．

点评 本题考查圆周运动、平抛运动与动能定理的综合应用，知道圆周运动向心力的来源，以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．