题目内容

3．如图甲所示，两个边长为l、宽为L的矩形单匝导体线框abcd、a′b′c′d′互相垂直，彼此绝缘，可绕共同的中心轴O1O2转动，将两线框的始端并在一起接到金属滑环C上，末端并在一起接到金属滑环D上，两金属滑环C、D彼此绝缘，并分别通过一个电刷与定值电阻R相连．线框处于磁铁和圆柱形铁芯之间的磁场中，磁场边缘之间所夹的圆心角为45°，如图乙所示（图中的圆表示圆柱形铁芯，它使磁铁和铁芯之间的磁场沿半径方向，如图箭头所示）．不论线框转到磁场中的什么位置，磁场的方向总是与线框平面平行．磁场中长为l的线框边所在处的磁感应强度大小恒为B，设两线框的总电阻均为r，以相同的角速度ω逆时针匀速转动，通过电刷跟C、D相连的定值电阻R=2r．
（1）求线框abcd转到图乙位置时感应电动势的大小；
（2）求转动过程中电阻R上的电压最大值；
（3）不计一切摩擦，求外力驱动两线框转动一周所做的功．
（4）从线框abcd进入磁场开始时，作出0～T（T是线框转动周期）时间内通过R的电流iR随时间变化的图象．

分析 （1）根据感应电动势公式E=BLv和v=rω结合，求解线框aa′转到图乙位置时感应电动势的大小．
（2）线框转动过程中，只有一个线框进入磁场切线磁感线作为电源，另一个线框与外接电阻R并联后作为外电路，根据欧姆定律求出电阻R上的电压最大值．
（3）根据能量转化和守恒定律求解外力驱动两线框转动一周所做的功．
（4）从线框aa′进入磁场开始，每转45°，即$\frac{T}{8}$周期时间，电流发生一次变化，作出电流的图象．

解答 解：（1）不管转到任何位置，磁感线方向都和速度方向垂直，所以感应电动势的大小：E=2Blv=2Bl$\frac{ωL}{2}$=BlLω
（2）在线圈的转动过程中，同一时刻只会有一个线框产生电动势，相当于电源，另一线框与电阻并联组成外电路，${R}_{外}^{\;}=\frac{Rr}{R+r}=\frac{2r•r}{2r+r}=\frac{2}{3}r$
所以R两端的电压最大值：${U_R}=I{R_外}=\frac{E}{{r+\frac{2r}{3}}}•\frac{2}{3}r=\frac{2E}{5}=\frac{2}{5}BlLω$
（3）每个线框作为电源时，电路中总电流为：
    I=$\frac{E}{{R}_{外}^{\;}+r}$=$\frac{E}{\frac{2r}{3}+r}$=$\frac{3E}{5r}$，
提供的总功率为：P=EI=$\frac{3{E}_{\;}^{2}}{5r}$=$\frac{3（BlLω）_{\;}^{2}}{5r}$
根据能量转化和守恒定律得：W外=4P•$\frac{T}{8}$=P•$\frac{T}{2}$=P•$\frac{π}{ω}$=$\frac{3π{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}ω}{5r}$
（4）aa′和bb′在磁场中，通过R的电流大小相等，有：iR=$\frac{{U}_{R}^{\;}}{R}=\frac{\frac{2BlLω}{5}}{2r}=\frac{BlLω}{5r}$．
从线框aa′进入磁场开始，每转45°，即$\frac{T}{8}$周期时间，电流发生一次变化，作出电流的图象如图所示．
答：（1）线框aa′转到图乙位置时感应电动势的大小为BlLω．；
（2）转动过程中电阻R上的电压最大值$\frac{2}{5}BlLω$；
（3）外力驱动两线框转动一周所做的功为$\frac{3π{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}ω}{5r}$．
（4）从线框aa′进入磁场开始，在0～T时间内通过R的电流iR随时间变化的图象如图所示；

点评 本题首先要认识电路的结构，搞清电源和外电路，其次要能根据能量守恒定律求解外力所做的功．

练习册系列答案
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