题目内容
(2012年四月天津武清区一模)2010年上海世博会某国家馆内，有一“发电”地板，利用游人走过此处，踩踏地板发电。其原因是地板下有一发电装置，如图l所示，装置的主要结构是一个截面半径为r、匝数为n的线圈，紧固在与地板相连的塑料圆筒P上。磁场的磁感线沿半径方向均匀分布，图2为横截面俯视图。轻质地板四角各连接有一个劲度系数为k的复位弹簧(图中只画出其中的两个)。当地板上下往返运动时，便能发电。若线圈所在位置磁感应强度大小为B，线圈的总电阻为R0，现用它向一个电阻为R的小灯泡供电。为了便于研究，将某人走过时地板发生的位移一时间变化的规律简化为图3所示。(取地板初始位置x=0，竖直向下为位移的正方向，且弹簧始终处在弹性限度内。)
（1）取图2中逆时针方向电流为正方向，请在图4所示坐标系中画出线圈中感应电流i随时间t变化的图线，并标明相应纵坐标。要求写出相关的计算和判断过程。
（2）t= t0/2时地板受到的压力。
（3）求人踩踏一次地板所做的功。
解：（1）0~t0时间，地板向下做匀速运动，其速度v=x0/t0，线圈切割磁感线产生的感应电动势e=nB·2πrv=2nBπrx0/t0，感应电流i= e/R=2nBπrx0/Rt0；0~t0时间，地板向下做匀速运动，其速度v=x0/t0，线圈切割磁感线产生的感应电动势e=-nB·2πrv=-2nBπrx0/t0，感应电流i= e/R=-2nBπrx0/Rt0；
（2）t= t0/2时，地板向下位移x0/2，弹簧弹力kx0/2，安培力为nBi2πr=2nBiπr，
由平衡条件可知，地板受到的压力F= kx0/2+2nBiπr。
（3）由功能关系可得人踩踏一次地板所做的功W=2i2R t0=4n2B2π2r2x02/Rt0。
