Question

15．如图所示，足够长的水平导体框架的宽度为L，电阻可忽略不计，左端接一阻值为R的定值电阻．磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于导体框平面向上，一根质量为m、有效电阻为r的导体棒MN垂直跨放在框架上，该导体棒与框架间的动摩擦因数为μ，导体棒在水平力的作用下由静止开始沿框架以加速度a做匀加速直线运动，求：
（1）从静止开始经时间t内通过电阻R的电荷量q；
（2）写出水平力F关于时间t的表达式；
（3）如果从静止开始经时间t在电阻R上产生的焦耳热为Q，则该过程中外力做功为多少？

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律、电量公式q=It及运动学位移时间公式结合，可求得电荷量q．
（2）推导出安培力与时间t的关系式，再由牛顿第二定律得到F与t的表达式．
（3）外力做功等于回路产生的焦耳热、摩擦生热和棒获得的动能之和，根据功能关系求解．

解答 解：（1）时间t内通过电阻R的电荷量为：q=$\overline{I}$t
电流的平均值为：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$
感应电动势平均值为：$\overline{E}$=BL$\overline{v}$
联立得：q=$\frac{BL\overline{v}t}{R+r}$
根据运动学公式有：$\overline{v}$t=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
所以有：q=$\frac{BLa{t}^{2}}{2（R+r）}$
（2）t时刻导体棒的速度为：v=at
产生的感应电动势为：E=BLv
感应电流为：I=$\frac{E}{R+r}$
金属棒所受的安培力大小为：F_安=BIL
联立以上四式得：F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+r}$
根据牛顿第二定律得：F-μmg-F_安=ma
则得：F=μmg+ma+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+r}$
（3）f时间内棒通过的距离为：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
在电阻r上产生的焦耳热为$\frac{r}{R}$Q，
根据功能关系可得，外力做功为：
W=μmgx+Q+$\frac{r}{R}$Q+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}μmga{t}^{2}$+$\frac{R+r}{R}$Q+$\frac{1}{2}m（at）^{2}$
答：（1）从静止开始经时间t内通过电阻R的电荷量q是$\frac{BLa{t}^{2}}{2（R+r）}$；
（2）水平力F关于时间t的表达式是F=μmg+ma+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+r}$；
（3）如果从静止开始经时间t在电阻R上产生的焦耳热为Q，则该过程中外力做功为$\frac{1}{2}μmga{t}^{2}$+$\frac{R+r}{R}$Q+$\frac{1}{2}m（at）^{2}$．

点评 本题是电磁感应中的力学问题，电磁感应与力联系桥梁是安培力，这类问题的关键在于安培力的分析和计算．