Question

如图所示，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内．小球A、B质量分别为m、βm(β为待定系数)．A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为R，碰撞中无机械能损失．重力加速度为g．试求：

(1)待定系数β；

(2)第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力；

(3)小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度．

Answer 1

答案：
解析：

解析：碰撞中无机械能，可根据机械能守恒定律计算出系数β；根据机械能守恒可计算出碰撞后两球的速度，应用牛顿第二定律可计算B球对轨道的压力；根据碰撞中动量守恒小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，然后根据实际情景进行分析讨论． 　　(1)由mgR＝＋，得β＝3 　　(2)设A、B碰撞后的速度分别为v1，v2，则 　　mv12＝ 　　βmv22＝ 　　设向右为正、向左为负，解得 　　v1＝－，方向向左 　　v2＝，方向向右 　　设轨道对B球的支持力为，方向竖直向上为正，竖直向下为负 　　即N－βmg＝βm 　　＝－N＝－4.5 mg，方向竖直向下 　　(3)设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为v1、v2，则 　　－mv1－βmg＝mv1＋βmv2 　　mgR＝mv12＋βmv22 　　解得：v1＝－，v2＝0 　　(另一组解：v1＝－v1，v2＝－v2不合题意，舍去) 　　由此可得： 　　当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同； 　　当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同．