Question

如图所示，以A、B和C、D为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光滑水平地面上，左端紧靠B点，上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C，一物块被轻放在水平匀速运动的传送带上E点，运动到A时刚好与传送带速度相同，然后经A沿半圆轨道滑下，再经B滑上滑板，滑板运动到C时被牢固粘连，物块可视为质点，质量为m，滑板质量M=2m，两半圆半径均为R，板长l=6.5R，板右端到C的距离L在R＜L＜5R范围内取值，E距A为S=5R，物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因数均μ=0.5，重力加速度取g．
（1）求物块滑到B点的速度大小；
（2）试讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中，克服摩擦力做的功W_f与L的关系，并判断物块能否滑到CD轨道的中点．

Answer 1

（1）设物块运动到A和B点的速度分别为v₁、v₂，
由动能定理得μmgS=

1

2

m

v

21

…①
由机械能守恒定律  

1

2

m

v

22

=2mgR+

1

2

m

v

21

…②
联立①②，得v2=3

gR

…③
（2）设滑板与物块达到共同速度v₃时，位移分别为l₁、l₂，
由动量守恒定律mv₂=（m+M）v_3…④
由动能定理  μmgl1=

1

2

M

v

23

…⑤
-μmgl2=

1

2

m

v

23

-

1

2

m

v

22

…⑥
联立③④⑤⑥，得 l₁=2R　　　l₂=8R…⑦
物块相对滑板的位移△l=l₂-l₁ △l＜l
即物块与滑板在达到相同共同速度时，物块未离开滑板…⑧
物块滑到滑板右端时
若R＜L＜2R，W_f=μmg（l+L）…⑨
Wf=

1

4

mg(13R+2L)…⑩
若2R≤L＜5R，W_f=μmg（l+l₁）…（11）
Wf=

17

4

mgR…（12）
设物块滑到C点的动能为E_k，
由动能定理 -Wf=Ek-

1

2

m

v

22

…（13）
L最小时，克服摩擦力做功最小，因为L＞R，
由③⑩（13）确定E_k小于mgR，则物块不能滑到CD轨道中点．
答：（1）物块滑到B点的速度v2=3

gR

     （2）物块不能滑到CD轨道中点．