Question

如图所示，以A、B和C、D为断点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光滑的地面上，左端紧靠B点，上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C两点，一物块（视为质点）被轻放在水平匀速运动的传送带上E点，运动到A点时刚好与传送带速度相同，然后经A点沿半圆轨道滑下，再经B点滑上滑板，滑板运动到C点时被牢固粘连．物块可视为质点，质量为m，滑板质量为M=2m，两半圆半径均为R，板长l=6.5R，板右端到C点的距离L在R＜L＜5R范围内取值，E点距A点的距离s=5R，物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度g已知．
（1）求物块滑到B点的速度大小；
（2）求物块滑到B点时对半圆轨道的压力；
（3）物块在滑板上滑动过程中，当物块与滑板达到共同速度时，测得它们的共同速度为u=

uB

3

．试讨论物块从滑上滑板到离开右端的过程中，克服摩擦力做的功W_f与L的关系．并判断物块能否滑到CD轨道的中点．

Answer 1

分析：（1）物块从E到B点由动能定理可求得到达B点的速度；
（2）在B点由牛顿第二定律求的对半圆轨道的压力；
（3）当达到共同速度时通过动能定理判断出滑块和木板前进的位移，然后通过讨论L的大小判断出摩擦力做的功W_f与L的关系．并判断物块能否滑到CD轨道的中点．

解答：解（1）设物块滑到B点的速度大小为v_B，对物体从E到B过程，根据动能定理得：
μmgs+2mgR =

1

2

mv

2 B

．
解得：vB =3

gR

．
（2）物块在B点时，根据牛顿第二定律得：FN -mg=m

v 2 B

R

．
解得：FN=m

v 2 B

R

+mg=10mg．
（3）物块从B滑上滑板后开始作匀减速运动，此时滑板开始作匀加速直线运动，当物块与滑板达共同速度时，二者开始作匀速运动．由题意知它们的共同速度为：v=

vB

3

．
此过程，对物块据动能定理得：-μmgs1=

1

2

mv

2

-

1

2

mv

2 B

．
解得：s₁=8R．
此过程，对滑板据动能定理得：μmgs2=

1

2

mv2-0．
解得：s₂=2R．
由此可知物块在滑板上滑过s₁-s₂=6R时，二者就具有共同速度了．因为6R＜6.5R，所以物块并没有从滑板上滑下去．
讨论：
当R＜L＜2R时，物块在滑板上一直匀减速运动至右端，运动的位移为6.5R+L，克服摩擦力做的功为：W_f=μmg（6.5R+L）=

1

4

mg(13R+2L)．
设滑上C点的速度为v_c，对物块根据动能定理得：
-μmg(6.5R+L)=

1

2

mv

2 c

-

1

2

mv

2 B

解得：

1

2

mv

2 c

=

1

2

mg(2.5R-L)＜mgR，所以物块不可能滑到CD轨道的中点．
当2R≤L＜5R时，物块的运动的匀减速运动8R，匀速运动L-2R，再匀减速运动0.5R，克服摩擦力做的功为：Wf=μmg(8R+0.5R)=

17

4

mgR．
-Wf=

1

2

mv

′2 c

-

1

2

mv

2 B

解得：

1

2

mv

′2 c

=

1

4

mgR＜mgR，所以物块不能滑到CD轨道的中点．
答：（1）求物块滑到B点的速度大小为3

gR

；
（2）求物块滑到B点时对半圆轨道的压力10mg；
（3）当R＜L＜2R时，克服摩擦力做功为

1

4

mg(13R+2L)，不能滑到CD的中点；
当2R≤L＜5R时，克服摩擦力做功为

17

4

mgR，不能滑到CD的中点；

点评：本题考查机械能守恒以及有摩擦的板块模型中克服摩擦力做的功．判断物块与滑板在达到相同共同速度时，物块未离开滑板是关键，是一道比较困难的好题．