Question

12．如图所示，倾角θ的光滑斜面固定在水平面上．质量为m的长木板放在斜面上，平行于斜面的细线一端固定在斜面顶端，另一端与长木板连接．现将一质量为m的小木块B（大小不计）从长木板的上端由静止释放，小木块以0.4g（g为重力加速）的加速度做匀加速运动，当小木块B运动到与长木板上端距离为s时，将细线剪断，长木板开始沿斜面运动．已知斜面足够长，小木块B始终未离开长木板A，sinθ=0.6，cosθ=0.8．求：
（1）小木块B刚开始运动时，细线对长木板A的拉力大小；
（2）长木板A的最小长度；
（3）系统机械能守恒损失的最大值．

Answer 1

分析 （1）分别对A与B进行受力分析，由牛顿第二定律与共点力的平衡即可求出；
（2）剪断细线后B的加速度先保持不变，A受到的拉力消失，由此求出A的加速度，然后由运动学的公式即可求出；
（3）系统损失机械能的最大值即为滑动摩擦力对系统做的功，是摩擦力与相对位移才乘积．

解答 解：（1）小木块B刚开始运动时，A、B两物体的受力如图．
对B，由牛二定律得：mgsinθ-f=ma 
对A，由平衡条件得：T-mgsinθ+f′
由牛三定律得：f′=f
联立以上各式并代入数据得：T=0.8mg 
（2）设剪断细线瞬间物块B的速度为v₀，则由匀变速运动公式得：${v}_{0}^{2}=2as$
当细线剪断后，．B受力没变，仍保持原加速度a沿斜面向下运动，板A受到的拉力消失，以加速度为a₁沿斜面下滑，经时间t，两物体速度相等后，将保持相对静止，则由牛二定律得：mgsinθ+f′=ma₁
所以：${a}_{1}=\frac{mgsinθ+f′}{m}=0.8g$
由匀变速运动公式得：v=a₁t=v₀+at 
${s}_{A}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$ 
${s}_{B}={v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$
长木板A的最小长度L=s_B-s_A+s
联立以上各式并代入数据得：L=2s 
（3）系统损失机械能的最大值即为滑动摩擦力对系统做的功：
△E=fL=0.4mgs
答：（1）小木块B刚开始运动时，细线对长木板A的拉力大小是0.8mg；
（2）长木板A的最小长度是2s；
（3）系统机械能守恒损失的最大值是0.4mgs．

点评 本题综合考查了牛顿第二定律、共点力平衡、能量守恒等，解答的关键是正确对两个物体分别进行受力分析以及抓住临界状态，选择合适的规律进行求解，是道好题．