题目内容

（2011?山西模拟）如图所示，在一底边长为2a，θ=30°的等腰三角形区域内（D在底边中点），有垂直纸面向外的匀强磁场．现有一质量为m，电量为q的带正电粒子从静止开始经过电势差为U的电场加速后，从D点垂直于EF进入磁场，不计重力和与空气阻力的影响．
（1）若粒子恰好垂直于EC边射出磁场，求磁场的磁感应强度B为多少？
（2）改变磁感应强度的大小，粒子进入磁场偏转后能打到ED板，求粒子从进入磁场到第一次打到ED板的最长时间是多少？
（3）改变磁感应强度的大小，可以再延长粒子在磁场中的运动时间，求粒子在磁场中运动的极限时间．（不计粒子与ED板碰撞的作用时间．设粒子与ED板碰撞前后，电量保持不变并以相同的速率反弹）
分析：（1）由动能定理求粒子进入匀强磁场的速度，画出粒子的轨迹运动图，由几何知识求半径；
（2）从进入磁场到第一次打到ED板的圆周轨迹到EC边相切时，路程最长，运动时间最长；
（3）当r越小，后一次打到ED板的点越靠近E端点，在磁场中圆周运动累积路程越大，时间越长．当r为无穷小，经过n个半圆运动，最后一次打到E点．
解答：解：（1）依题意，粒子经电场加速射入磁场时的速度为v
由qU=
1
2
mv2得：

v=
2qU
m
 ①
粒子在磁场中做匀速圆周运动其圆心在E点，如图所示，半径r1=a ②
由洛仑兹力提供向心力：qvB=m
v2
r1
 ③
由①②③式得：B=
1
a
2mU
q
                   
（2）粒子速率恒定，从进入磁场到第一次打到ED板的圆周轨迹到EC边相切时，路程最长，运动时间最长．如图，设圆周半径为r2
由图中几何关系：r2+
r2
sinθ
=a  　　　
得：r2=
1
3
a  …④
最长时间t=
πr2
v
  …⑤
由①④⑤式得：t=
πa
3
m
2qU
　　　
（3）设粒子运动圆周半径为r，r=
mv
qB
，当r越小，后一次打到ED板的点越靠近E端点，在磁场中圆周运动累积路程越大，时间越长．当r为无穷小，经过n个半圆运动，最后一次打到E点．
有：n=
a
2r
   …⑥
圆周运动周期：T=
2πr
v
   …⑦
最长的极限时间：tm=n
T
2
   …⑧
由⑥⑦⑧式得：tm=
πa
2v
=
πa
2
m
2qU
　
答：（1）若粒子恰好垂直于EC边射出磁场，磁场的磁感应强度B为
1
a
2mU
q
；
（2）粒子从进入磁场到第一次打到ED板的最长时间是
πa
3
m
2qU
；
（3）粒子在磁场中运动的极限时间为
πa
2
m
2qU
．
点评：做好此类题目的关键是准确的画出粒子运动的轨迹图，利用几何知识求出粒子运动的半径，再结合半径公式和周期公式去分析．
练习册系列答案
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