Question

4．如图所示，半径分别为R=2m和r=1m的甲、乙两圆形轨道放置在同一竖直面内，斜面与水平轨道由一小段圆弧轨道相连，两圆形轨道之间由一条水平轨道CD相连，小球与CD段间的动摩擦因数为μ=0.25，其余各段均光滑．现有一小球从光滑斜面上的A点由静止释放，那么：
（1）为了使小球能通过甲轨道的最高点，试求A点离水平轨道CD的高度H至少为多少；
（2）若小球以第（1）问所求最小高度由静止从A点滑下，要使小球能滑上乙轨道而不脱离轨道，CD段的长度应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）小球恰好通过甲轨道的最高点时由重力充当向心力，由牛顿第二定律可求得最高点的最小速度．小球从A运动到甲轨道最高点的过程中只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律求出H的最小值．
（2）要使小球能滑上乙轨道而不脱离轨道，小球在乙轨道最高点的速度不小于$\sqrt{gr}$，再结合动能定理求CD的长度应满足的条件．

解答 解：（1）小球刚好通过甲轨道的最高点时，由牛顿第二定律有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ①
由A到甲轨道的最高点，由机械能守恒定律有：mg（H-2R）=$\frac{1}{2}$mv²　②
由以上两式可得：H=2.5R=5m
（2）要使小球能滑上乙轨道而不脱离轨道，设CD的长度最大为x，此时小球恰好通过乙轨道的最高点，小球通过乙轨道最高点的最小速度为v′，则有
  mg=$m\frac{v{′}^{2}}{r}$，v′=$\sqrt{gr}$
根据动能定理得：mg（H-2r）-μmgx=$\frac{1}{2}$mv′²
解得：x=$\frac{5（R-r）}{2μ}$=$\frac{5×（2-1）}{2×0.25}$=10m
故要使小球能滑上乙轨道而不脱离轨道，CD段的长度应满足的条件是x≤10m
答：（1）为了是小球能通过甲轨道的最高点，A点离水平轨道CD的高度H至少为5m．
（2）要使小球能滑上乙轨道而不脱离轨道，CD段的长度应满足的条件是x≤10m．

点评 本题综合运用了动能定理和圆周运动向心力问题，关键要掌握圆周运动最高点的临界条件，运用动能定理和牛顿第二定律结合解题．运用动能定理时要灵活选取研究的过程．