Question

16．如图所示，有一质量为m的小球，以速度v₀滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道．已知圆弧轨道的质量为3m，小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，重力加速度为g，求：
（1）小球在圆弧轨道上能上升的最大高度（用v₀、g表示）
（2）小球离开圆弧轨道时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）小球和轨道组成的系统，在水平方向上不受外力，水平方向动量守恒．当小球在圆弧轨道上到达最高点时小球与轨道的速度相同．规定小球运动的初速度方向为正方向，根据动量守恒列式，再根据机械能守恒列式，联立方程即可求解；
（2）小球从轨道左端离开滑块时，根据动量守恒和机械能守恒定律列式，联立方程即可求解．

解答 解：（1）小球和圆弧轨道在水平方向上动量守恒．当小球在圆弧轨道上到达最高点时小球与轨道的速度相同，设共同速度为v．规定小球运动的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律有：
mv₀=（m+3m）v，
得：v=$\frac{{v}_{0}}{4}$
根据机械能守恒得：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（m+3m）v²+mgh
解得：h=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{8g}$
（2）小球从轨道左端离开滑块时，根据动量守恒定律，则有：
mv₀=mv₁+3mv₂，
根据机械能守恒，则有：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$•3mv₂²，
联立可得：v₁=-$\frac{1}{2}{v}_{0}$，则小球离开圆弧轨道时的速度大小为$\frac{{v}_{0}}{2}$．
答：（1）小球在圆弧轨道上能上升的最大高度是$\frac{3{v}_{0}^{2}}{8g}$．
（2）小球离开圆弧轨道时的速度大小是$\frac{{v}_{0}}{2}$．

点评 本题关键要判断出系统水平方向的动量守恒，要注意系统的总动量并不守恒．对于光滑的情形，要考虑机械能守恒定律．