Question

7．如图所示，倾角θ=37°的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个轮半径和质量不计的光滑定滑轮D，质量均为m=1kg 的物体A和B用一劲度系数k=240N/m 的轻弹簧连接，物体B被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板P挡住．用一不可伸长的轻绳使物体A跨过定滑轮与质量为M的小环C连接，小环C穿过竖直固定的光滑均匀细杆，当整个系统静止时，环C位于Q处，绳与细杆的夹角α=53°，且物体B对挡板P的压力恰好为零．图中SD水平且长度 为d=0.2m，位置R与位置Q关于位置S对称，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行．现让环C从位置R由静止释放，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．求：
（1）小环C的质量M；
（2）小环C通过位置S时的动能 Ek及环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功W_T；
（3）小环C运动到位置Q的速率v．

Answer 1

分析 （1）该题中，共有ABC三个物体与弹簧组成一个系统，受力的物体比较多，可以先以AB组成的整体为研究对象，求出绳子的拉力，然后以C为研究对象进行受力分析，即可求出C的质量；
（2）由几何关系求出绳子RD段的长度，再以B为研究对象，求出弹簧的伸长量，以及后来的压缩量，最后根据机械能守恒定律求出C的速度、动能；由动能定理求出轻绳对环做的功W_T；
（3）由机械能守恒定律即可求出C的速度．

解答 解：（1）先以AB组成的整体为研究对象，AB系统受到重力．支持力和绳子的拉力处于平衡状态，则绳子的拉力为：
T=2mgsinθ=2×10×sin37°=12N
以C为研究对象，则C受到重力、绳子的拉力和杆的弹力处于平衡状态，如图，则：
T•cos53°=Mg
代入数据得：M=0.72kg
（2）由题意，开始时B恰好对挡板没有压力，所以B受到重力、支持力和弹簧的拉力，弹簧处于伸长状态；
产生B沿斜面方向的受力：F₁=mgsinθ=1×10×sin37°=6N
弹簧的伸长量：△x₁=mgsinθ/K=0.025m
当小环 C 通过位置 S 时A下降的距离为x_A=$\frac{d}{sinα}-d$=0.05m
此时弹簧的压缩量△x₂=x_A-△x₁=0.025m
由速度分解可知此时A的速度为零，所以小环C从R运动到S的过程中，初末态的弹性势能相等，
对于小环C、弹簧和A组成的系统机械能守恒有：Mgdcotα+mgx_Asinθ=E_k
代入数据解得：E_k=1.38J
环从位置 R 运动到位置 S 的过程中，由动能定理可知：W_T+Mgdcotα=E_k
代入数据解得：W_T=0.3J
（3）环从位置 R 运动到位置 Q 的过程中，对于小环C、弹簧和A组成的系统机械能守恒
系统机械能守恒：Mg．（2dcotα）=$\frac{1}{2}M{v^2}+\frac{1}{2}m{v_A}^2$    
速度分解：v_A=vcosα
两式联立代入数据可得：v=2m/s．
答：（1）小环C的质量为0.72kg；
（2）小环C通过位置S时的动能为1.38J；环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功为0.3J；
（3）小环C运动到位置Q的速率为2m/s．

点评 该题中，第一问相对比较简单，解答的关键是第二问，在解答的过程中一定要先得出弹簧的弹性势能没有变化的结论，否则解答的过程不能算是完整的．