Question

如图所示，长为R的不可伸长轻绳上端固定在O点，下端连接一小球，小球与地面间的距离可以忽略（但小球不受地面支持力）且处于静止状态．在最低点给小球一沿水平方向的初速度，此时绳子恰好没断，小球在竖直平面内做圆周运动．假设小球到达最高点时由于绳子碰到正下方P处的钉子恰好断裂，最后小球落在距初始位置水平距离为4R的地面上，重力加速度为g．试求：
（1）绳突然断开时小球的速度v；
（2）竖直方向上O与P的距离L．

Answer 1

分析：（1）绳突然断开后，小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，高度已知，可以求出运动的时间，水平方向做匀速直线运动，水平位移已知，可以求出速度v；
（2）球绕O点做圆周运动，要求小球对绳的拉力，就要求出此时的速度v₀，求v₀可以根据小球从最低点到最高点的过程中用动能定理去求，再根据向心力公式求出绳子的拉力，在最高点求出半径r，即为L．

解答：解：（1）绳突然断开后，小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由h=

1

2

gt2得：
t=

2h g

=

4R g

 小球水平方向做匀速直线运动，由x=vt得：v=

x

t

=

4R

4R g

=2

gR

（2）从最低点到最高点的过程中，根据动能定理得：

1

2

mv2-

1

2

mv02=-mg?2R
解得：v0=2

2

gR
在最低点有：
T-mg=m

v02

R

解得：T=9mg
所以绳子最大承受力为9mg，
在最高点由：
mg+T=m

v2

r

解得：r=

2

5

R
所以竖直方向上O与P的距离L=r=

2

5

R
答：（1）绳突然断开时小球的速度v为2

gR

；
（2）竖直方向上O与P的距离L为

2

5

R．

点评：本题是平抛运动和圆周运动相结合的典型题目，除了运用平抛运动和圆周运动的基本公式外，求速度的问题，动能定理不失为一种好的方法．