Question

7．如图，在水平面（纸面）内有三根单位长度电阻均为r₀的均匀金属棒ab、ac和MN．其中ab、ac在a点接触，构成夹角为74°的“V”字型导轨．空间存在磁感位强度为B、方向垂于纸面的匀强磁场．MN在水平外力作用下向左匀速运动，t=0时刻MN与a点相距L，运动到t=T时刻与a点相距$\frac{L}{2}$，运动中MN始终与∠bac的平分线垂直且和导轨保持良好接触．sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）在MN运动的T时间内，回路中产生的平均感应电动势：
（2 ）在t（0≤t≤T）时刻MN受到水平外力的大小；
（3）在MN运动的T时间内，回路中产生的电能．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求出平均电动势．
（2）根据E=BLv求出瞬时电动势，由闭合电路欧姆定律求出电流强度的大小，由F=BIL求安培力大小．
（3）由平均功的关系求出拉力做的功，然后由功能关系即可求出．

解答 解：（1）t时刻，回路面积为S，$S=\frac{1}{2}×2Ltan37°×L=\frac{3}{4}{L}_{\;}^{2}$
在MN运动的T时间内，回路面积为原来的$\frac{1}{4}$，
面积变化量$△S=S-\frac{1}{4}S=\frac{3}{4}S=\frac{9}{16}{L}_{\;}^{2}$
平均感应电动势为：$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}=\frac{B△S}{T}=\frac{B•\frac{9}{16}{L}_{\;}^{2}}{T}=\frac{9B{L}_{\;}^{2}}{16T}$
（2 ）在t时刻MN到a点的距离：x=L-vt
所以接入电路的导体棒的有效长度：l=2x•tan37°
产生的电动势：E=Blv
电路中的电流：I′=$\frac{E}{R}$
电路中的电阻值：R=${r}_{0}•（2\frac{L-vt}{sin37°}+l）$
受到水平外力的大小：F=BI′l
联立得：F=$\frac{4{B}^{2}（L-vt）ta{n}^{2}37°}{\frac{2{r}_{0}}{sin37°}+{2r}_{0}tan37°}$
（3）由（2）的公式可知，拉力F与时间t为线性关系，又由于棒做匀速运动，位移与时间成正比，则在MN运动的T时间内，拉力做的功与位移成正比．
拉力F与位移围成的面积可以表示拉力做的功，则：
W=$\overline{F}•△x$
又：vT=$\frac{1}{2}L$
开始时的拉力：${F}_{0}=\frac{4{B}^{2}Lta{n}^{2}37°}{\frac{2{r}_{0}}{sin37°}+{2r}_{0}tan37°}$
T时刻的拉力：${F}_{t}=\frac{4{B}^{2}（L-\frac{L}{2}）ta{n}^{2}37°}{\frac{2{r}_{0}}{sin37°}+{2r}_{0}tan37°}$=$\frac{{F}_{0}}{2}$
所以拉力做的功：W=$\frac{6{B}^{2}{L}^{2}ta{n}^{2}37°}{\frac{2{r}_{0}}{sin37°}+{2r}_{0}tan37°}$
由功能关系可知，回路中产生的电能也是$\frac{6{B}^{2}{L}^{2}ta{n}^{2}37°}{\frac{2{r}_{0}}{sin37°}+{2r}_{0}tan37°}$．
答：（1）在MN运动的T时间内，回路中产生的平均感应电动势是$\frac{9B{L}^{2}}{16T}$：
（2 ）在t（0≤t≤T）时刻MN受到水平外力的大小是$\frac{4{B}^{2}（L-vt）ta{n}^{2}37°}{\frac{2{r}_{0}}{sin37°}+{2r}_{0}tan37°}$；
（3）在MN运动的T时间内，回路中产生的电能是$\frac{6{B}^{2}{L}^{2}ta{n}^{2}37°}{\frac{2{r}_{0}}{sin37°}+{2r}_{0}tan37°}$

点评 本题是动生电动势和感生电动势同时产生的问题，要知道这两个电动势分别由切割式：E=BLv和法拉第电磁感应定律求解，并由楞次定律判断两者方向关系，求回路总电动势．