Question

如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的光滑半圆形导轨在B点相接，导轨半径为R．一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，之后向上运动恰能完成半个圆周运动到达C点．试求：
（1）物体运动到B后一瞬间对导轨的压力；
（2）弹簧开始时的弹性势能；
（3）若使物体带上q的正电荷，同时在BC半圆形导轨区间内加上一水平向左的匀强电场E=

mg

q

，仍要使物体恰能完成BC导轨上的圆周运动，则弹簧开始时的弹性势能至少为多少．

Answer 1

分析：（1）物体恰能完成半个圆周运动到达C点，在C点，重力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解出C点的速度；从B到C过程，只有重力做功，机械能守恒，根据守恒定律列式求解出B点速度；在B点，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解支持力；最后根据牛顿第三定律得到压力；
（2）从开始到C过程，弹性势能全部转化为C点的动能，根据能量守恒定律列式求解；
（3）加电场后，求出电场力，与重力合成，得到合力的大小和方向；得到复合场的等效最高点，根据牛顿第二定律和动能定理列式后联立求解即可．

解答：解：（1）在C点：由mg=m

v2

R

得  v=

gR

；
从B到C由机械能守恒得 

1

2

mvB2=

1

2

mv2+mg2R------①；
在B点由向心力得        N-mg=m

v2

R

------------------②；
由①②得               N=6mg
根据牛第三定律，压力也为6mg；
（2）从开始到C由机械能守恒得 Ep=mg2R+

1

2

mv2=

5

2

mgR；
（3）电场力F=qE=mg，故等效最高点D点在半径与水平方向成45°右上方；
在D点由向心力公式有 

2

mg=m

vD2

R

--------------①；
从开始到D点由能量守恒有Ep=mg(R+

2

2

R)+qE

2

2

R+

1

2

mvD2-------②；
由①②得       Ep=(1+

3 2

2

)mgR；
答：（1）物体运动到B后一瞬间对导轨的压力为6mg；
（2）弹簧开始时的弹性势能为

5

2

mgR；
（3）弹簧开始时的弹性势能至少为(1+

3 2

2

)mgR．

点评：本题关键是明确小球的运动规律，然后结合动能定理、牛顿第二定律、向心力公式、机械能守恒定律列式求解，不难．