Question

如图所示，有三个宽度均相等的区域I、Ⅱ、Ⅲ；在区域I和Ⅲ内分别为方向垂直于纸面向外和向里的匀强磁场（虚线为磁场边界面，并不表示障碍物），区域I磁感应强度大小为B，某种带正电的粒子，从孔O₁以大小不同的速度沿图示与aa′夹角α=30⁰的方向进入磁场（不计重力）．已知速度为v₀和2v₀时，粒子仅在区域I内运动且运动时间相同，均为t₀．
（1）试求出粒子的比荷

q

m

、速度为2v₀的粒子从区域I射出时的位置离O₁的距离L；
（2）若速度为v的粒子在区域I内的运时间为

t0

5

，在图中区域Ⅱ中O₁O₂上方加竖直向下的匀强电场，O₁O₂下方对称加竖直向上的匀强电场，场强大小相等，使速度为v的粒子每次均垂直穿过I、Ⅱ、Ⅲ区域的边界面并能回到O₁点，则请求出所加电场场强大小与区域Ⅲ磁感应强度大小．

Answer 1

分析：（1）速度为υ_o和2υ_o时粒子在区域I内的运动时间相同，故粒子运动的轨迹对应的圆心角相同，故只能在区域I中运动，故其轨迹所对应的圆心角为300°=

5

3

π，根据周期公式通过运动的时间求出粒子的比荷．根据洛伦兹力提供向心力求出速度为2v₀的粒子运动的半径，根据几何关系计算速度为2v₀的粒子从区域I射出时的位置离O₁的距离L．
（2）度为υ的粒子每次均垂直穿过I、Ⅱ、Ⅲ区域的边界面并能回到O₁点，根据要求作出运动的轨迹图，根据粒子在电场中做类平抛运动，结合运动的周期性求出电场强度的大小，进入磁场做匀速圆周运动，在磁场中运动180°出磁场，根据半径的大小关系求出磁感应强度的大小．

解答：解：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，故有：qvB=m

v2

R

，解得：R=

mv

qB

，
根据运动的周期：T=

2πR

v

可得粒子运动的周期：T=

2πm

qB

由题意可得速度为v₀和2v₀的粒子均由区域I左侧aa?出磁场
则粒子转过的圆心角为

5

3

π 
故t0=

5

6

T 
解得：

q

m

=

5π

3Bt0

对速度为2v₀的粒子在区域I运动：
洛伦兹力提供向心力Bq(2v0)=m

(2v0)2

r

r=

2mv0

Bq

=

6v0t0

5π

由几何关系可得L=r=

6v0t0

5π

（2）当速度为v时，t1=

t0

5

，圆心角θ=60°
洛伦兹力提供向心力Bqv=m

v2

R

所以R=

mv

Bq

=

3vt0

5π

根据几何关系d=Rsin60°=

3 3 vt0

10π

在竖直方向上做匀加速运动，位移

R

2

=

Eq

2m

t2
水平方向做匀速直线运动，位移x=vt  
根据运动的对称性及周期性知：2x+4nx=d          （n=0、1、2、3…） 
解得E=

16

3

Bv(2n+1)2
在区域中：带电粒子做圆周运动的半径为R′=

R

2

即

mv

B′q

=

mv

2Bq

     
所以：B′=2B
答：（1）求出粒子的比荷为

5π

3Bt0

，速度为2v₀的粒子从区域I射出时的位置离O₁的距离L为

6v0t0

5π

．
（2）所加电场场强大小为

16

3

Bv(2n+1)2，磁感应强度大小为2B．

点评：带电粒子在匀强磁场中的运动是整个高中的重点，也是高考的必考的内容，粒子的运动过程的分析是解题的关键．