题目内容
（2013?福建模拟）如图所示，有三个宽度均为d的区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；在区域Ⅰ和Ⅲ内分别有方向垂直于纸面向外和向里的匀强磁场（虚线为磁场边界，并不表示障碍物），区域Ⅰ中磁场的磁感应强度大小为B，区域Ⅲ中磁场的磁感应强度大小未知．质量为m、带电量为+q的粒子，从孔O1以大小不同的速率沿图示与aa′夹角a=30°的方向进入磁场，粒子重力忽略不计．（1）若粒子在区域Ⅰ内运动时恰好不从边界bb'射出，求粒子在该区域内的运动时间；
（2）若粒子经区域Ⅰ运动后恰好垂直边界bb'射入区域Ⅱ，求粒子从孔O1入射速度v的大小；
（3）若在区域Ⅱ中O1O2上方加竖直向下的匀强电场，O1O2下方对称加竖直向上的匀强电场，场强大小相等，使第（2）问中的粒子每次均垂直穿过界bb'和cc'并能回到O1点，求粒子从O1出发至回到O1运动的总时间及所加电场强度的大小．
分析：（1）粒子进入磁场后，在洛伦兹力作用下作匀速圆周运动，恰好不从边界bb'射出时轨迹恰好与边界bb'相切，画出轨迹，根据几何知识求出轨迹所对的圆心角θ，由t=
T求出时间．
（2）粒子经区域Ⅰ运动后恰好垂直边界bb'射入区域Ⅱ时，画出轨迹，结合几何关系求出粒子的轨迹半径，根据牛顿第二定律求出粒子从孔O1入射速度v的大小．
（3）使第（2）问中速度为υ的粒子每次均垂直穿过I、Ⅱ、Ⅲ区域的边界面并能回到O1点，根据要求作出运动的轨迹图，根据粒子在电场中做类平抛运动，结合运动的周期性求出电场强度的大小，进入磁场做匀速圆周运动，在磁场中运动180°出磁场，根据半径的大小关系求出磁感应强度的大小．分别求出粒子在电场中和磁场中运动的时间，从而求出总时间．
| θ |
| 2π |
（2）粒子经区域Ⅰ运动后恰好垂直边界bb'射入区域Ⅱ时，画出轨迹，结合几何关系求出粒子的轨迹半径，根据牛顿第二定律求出粒子从孔O1入射速度v的大小．
（3）使第（2）问中速度为υ的粒子每次均垂直穿过I、Ⅱ、Ⅲ区域的边界面并能回到O1点，根据要求作出运动的轨迹图，根据粒子在电场中做类平抛运动，结合运动的周期性求出电场强度的大小，进入磁场做匀速圆周运动，在磁场中运动180°出磁场，根据半径的大小关系求出磁感应强度的大小．分别求出粒子在电场中和磁场中运动的时间，从而求出总时间．
解答：
解：（1）粒子恰好不从边界bb′射出，轨迹如左图所示
t=
T1 ①
T1=
②
由①、②式解得：t=
（2）垂直边界bb'射出的轨迹如图所示，转过的圆心角得：θ=60°
由几何关系可知：d=Rsin60°
得：R=
d ③
由qvB=m
得：v=
④
把③式代人④得：v=
（3）在区域Ⅲ中：R′=
，才能返回区域Ⅱ，
则 B′=2B
t电=
=
t磁=
+
=
则 t=t电+t磁=
+
设在区域Ⅱ中O1O2上方加竖直向下的匀强电场水平为位移为x，运动时间为t，能垂直边界进入区域Ⅲ，则应满足：
=
at2=
t2 ⑤
x=vt ⑥
（2n+1）×2x=d （n=0、1、2、3…） ⑦
由③⑤⑥⑦式得：E=
（n=0、1、2、3…）
另外求时间t也可用：
t=
×
=
=
⑧
由③⑤⑧式得：E=
（n=0、1、2、3…）
答：（1）粒子在该区域内的运动时间为
；（2）粒子从孔O1入射速度v的大小为
；
（3）粒子从O1出发至回到O1运动的总时间为
，所加电场强度的大小为
（n=0、1、2、3…）．
解：（1）粒子恰好不从边界bb′射出，轨迹如左图所示t=
| 5 |
| 6 |
T1=
| 2πm |
| qB |
由①、②式解得：t=
| 5πm |
| 3qB |
（2）垂直边界bb'射出的轨迹如图所示，转过的圆心角得：θ=60°
由几何关系可知：d=Rsin60°
得：R=
2
| ||
| 3 |
由qvB=m
| v2 |
| R |
| RqB |
| m |
把③式代人④得：v=
2
| ||
| 3m |
（3）在区域Ⅲ中：R′=
| R |
| 2 |
则 B′=2B
t电=
| 2d |
| v |
| ||
| Bq |
t磁=
| T1 |
| 3 |
| T2 |
| 2 |
| 7mπ |
| 6Bq |
则 t=t电+t磁=
| ||
| Bq |
| 7mπ |
| 6Bq |
设在区域Ⅱ中O1O2上方加竖直向下的匀强电场水平为位移为x，运动时间为t，能垂直边界进入区域Ⅲ，则应满足：
| R |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| Eq |
| 2m |
x=vt ⑥
（2n+1）×2x=d （n=0、1、2、3…） ⑦
由③⑤⑥⑦式得：E=
32
| ||
| 9m |
另外求时间t也可用：
t=
| 1 |
| 2 |
| t电 |
| 2(2n+1) |
| ||||
| 4(2n+1) |
| ||
| 4(2n+1)qB |
由③⑤⑧式得：E=
32
| ||
| 9m |
答：（1）粒子在该区域内的运动时间为
| 5πm |
| 3qB |
2
| ||
| 3m |
（3）粒子从O1出发至回到O1运动的总时间为
| ||
| 4(2n+1)qB |
32
| ||
| 9m |
点评：带电粒子在匀强磁场中的运动是整个高中的重点，也是高考的必考的内容，粒子的运动过程的分析是解题的关键．
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