题目内容

如图所示，质量为m的小球，由长为l的细线系住，线能承受的最大拉力是9mg，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=0.5l，过E作水平线EF，在EF上钉铁钉D，现将小球拉直水平，然后由静止释放，小球在运动过程中，不计细线与钉子碰撞时的能量损失，不考虑小球与细线间的碰撞．
（1）若钉铁钉位置在E点，求细线与钉子碰撞前后瞬间，细线的拉力分别是多少？
（2）若小球能绕钉子在竖直面内做完整的圆周运动，求钉子位置在水平线EF上距E点距离的取值．
分析：（1）若钉子在E点，则小球经过B点前后瞬间，速度大小不变，半径变为原来一半，先根据动能定理求出到达B点的速度，再根据向心力公式分别求出绳子的拉力；
（2）设在D点绳刚好承受最大拉力，当小球落到D点正下方时，绳受到的最大拉力为F，此时小球的速度v1，由牛顿第二定律及机械能守恒定律列式求解
x的最大值，小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，在最高点重力提供向心力，列出方程，从释放到运动到最高点的过程中运用动能定理列出方程，联立即可求解最小值，从而求出范围．
解答：解：（1）小球释放后沿圆周运动，运动过程中机械能守恒，设运动到最低点速度为v，由机械能守恒定律得：
mgl=
1
2
mv2，碰钉子瞬间前后小球运动的速率不变，碰钉子前瞬间圆周运动半径为l，碰钉子前瞬间线的拉力为F1，碰钉子后瞬间圆周运动半径为
1
2
l，碰钉子后瞬间线的拉力为F2，由圆周运动、牛顿第二定律得：
F1-mg=
mv2
l
，
F2-mg=
mv2
1
2
l

得F1=3mg，F2=5mg
（2）设在D点绳刚好承受最大拉力，记DE=x1，则：AD=
x12+(
l
2
)2

悬线碰到钉子后，绕钉做圆周运动的半径为：r1=l-AD=l-
x12+(
l
2
)2

当小球落到D点正下方时，绳受到的最大拉力为F，此时小球的速度v1，由牛顿第二定律有：
F-mg=m
v12
r1
结合F≤9mg
由机械能守恒定律得：mg （
l
2
+r1）=
1
2
mv12
由上式联立解得：x1≤
2
3
l
随着x的减小，即钉子左移，绕钉子做圆周运动的半径越来越大．转至最高点的临界速度也越来越大，但根据机械能守恒定律，半径r越大，转至最高点的瞬时速度越小，当这个瞬时速度小于临界速度时，小球就不能到达圆的最高点了．
设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设EG=x2，
则：AG=
x22+(
l
2
)2
，r2=l-AG=l-
x22+(
l
2
)2

在最高点：mg≤
v12
r2
 由机械能守恒定律得：mg （
l
2
-r2）=
1
2
mv12 联立得：x2≥
7
6
l
钉子位置在水平线EF上距E点距离的取值范围是：
7
6
l≤x≤
2
3
l
答：（1）若钉铁钉位置在E点，细线与钉子碰撞前后瞬间，细线的拉力分别是3mg和5mg；
（2）若小球能绕钉子在竖直面内做完整的圆周运动，则钉子位置在水平线EF上距E点距离的取值范围为
7
6
l≤x≤
2
3
l．
点评：本题考查的知识点比较多，涉及到圆周运动、机械能守恒定律和动能定理，要求同学们解题时能熟练运用动能定理并结合几何知识解题，难度较大．
练习册系列答案
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