Question

12．宇航员从高h处以水平速度抛出一小球，不计空气阻力，小球经时间t落到星球表面，已知星球的半径为R，求：
（1）该星球表面的重力加速度？
（2）要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少多大？
（3）已知该星球的半径与地球半径之比为p：q，求该星球的质量与地球质量之比？（已知地球表面的重力加速度为g）

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动，运用运动学公式求出星球表面的重力加速度；
（2）要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面，恰好由物体的重力提供向心力，物体绕星球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律和向心力公式列式求解；
（3）在星球表面，重力等于万有引力，据此列式求解．

解答 解：（1）根据平抛运动的规律，竖直方向做自由落体运动，故：
h=$\frac{1}{2}g′{t}^{2}$
解得：
g′=$\frac{2h}{{t}^{2}}$    ①
（2）根据重力等于向心力，有：
mg′=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：
v=$\sqrt{g′R}$   ②
联立①②解得：
v=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$
（3）在星球表面，重力等于万有引力，故：
$mg=G\frac{Mm}{R^2}$
解得：
$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$
已知该星球的半径与地球半径之比为p：q，重力加速度之比为$\frac{2h}{{t}^{2}}$：g，故质量之比为：
$\frac{M′}{M}=\frac{\frac{g{′R′}^{2}}{G}}{\frac{g{R}^{2}}{G}}=\frac{p}{q}×（\frac{\frac{2h}{{t}^{2}}}{g}）^{2}$=$\frac{{4p{h^2}}}{{q{g^2}{t^4}}}$
答：（1）该星球表面的重力加速度为$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少为$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$；
（3）该星球的质量与地球质量之比为$\frac{{4p{h^2}}}{{q{g^2}{t^4}}}$．

点评 解决本题的关键理解第一宇宙速度，知道重力等于万有引力，掌握平抛运动的规律，并能读懂题给予的信息，不难．