Question

6．如图所示，AB为固定在竖直平面内的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道，其半径为R，轨道的B点与水平地面相切，质量为m的小球由A点以速度v₀=$\sqrt{gR}$向下运动，求：
（1）小球滑到最低点B时，速度v的大小；
（2）小球到达最低点B时，轨道对小球支持力F_N的大小；
（3）小球通过光滑的水平面BC后，滑上粗糙的固定曲面CD，恰好到达最高点D，D到地面的高度为$\frac{R}{2}$，则小球在曲面CD上克服摩擦力所做的功W_f为多少？

Answer 1

分析 （1）小球从A滑至B的过程中，支持力不做功，只有重力做功，根据机械能守恒定律或动能定理列式求解v；
（2）在最低点B时，小球所受重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解支持力F_N；
（3）对小球从A运动到D的整个过程运用动能定理列式求解克服摩擦力所做的功W_f．

解答 解：（1）小球从A滑至B的过程中，由动能定理得
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
又 v₀=$\sqrt{gR}$
联立解得 v=$\sqrt{3gR}$
即小球滑到最低点B时，小球速度v的大小为$\sqrt{3gR}$．
（2）在B点，对小球，由牛顿第二定律得
  F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
则 F_N=4mg
即小球到达最低点B时，轨道对小球支持力F_N的大小为4mg．
（3）对于小球从A运动到D的整个过程，由动能定理，得
  mg（R-$\frac{R}{2}$）-W_f=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
则W_f=mgR
即小球在曲面CD上克服摩擦力所做的功为mgR．
答：
（1）小球滑到最低点B时，小球速度v的大小为$\sqrt{3gR}$．
（2）小球到达最低点B时，轨道对小球支持力F_N的大小为4mg．   
（3）小球在曲面CD上克服摩擦力所做的功为mgR．

点评 本题关键在于灵活地选择运动过程运用动能定理列式，动能定理不涉及运动过程的加速度和时间，对于曲线运动同样适用．