Question

4．图中的甲是地球赤道上的一个物体，乙是“神舟十号”宇宙飞船（周期约90min），丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道示意图如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动．下列有关说法中正确的是（　　）

• A． 它们运动的向心加速度大小关系是a_乙＞a_丙＞a_甲
• B． 它们运动的线速度大小关系是v_乙＜v_丙＜v_甲
• C． 已知甲运动的周期T_甲=24h，可计算出地球的密度ρ=$\frac{3π}{G{T}_{甲}^{2}}$
• D． 已知乙运动的周期T_乙及轨道半径r_乙，可计算出地球质量M=$\frac{4{π}^{2}{r}_{乙}^{3}}{G{T}_{乙}^{2}}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，得出轨道半径与周期的关系，通过周期的大小比较出轨道半径的大小，从而根据万有引力提供向心力得出乙和丙的向心加速度和线速度大小关系．甲和丙的周期相同，角速度相等，根据v=rω，a=rω²，比较出甲和丙的线速度和角速度大小．根据万有引力提供向心力求出地球的质量．

解答 解：AB、根据万有引力提供向心力
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$=ma=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
得T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$．
据题知，同步卫星一丙的周期为24h，大于乙的周期，则丙的轨道半径大于乙的轨道半径．
根据线速度、加速度与轨道半径的关系，知a_乙＞a_丙，v_乙＞v_丙．
又因为甲与丙的角速度相等，根据v=rω知，v_丙＞v_甲，根据a=rω²知，a_丙＞a_甲．所以有：a_乙＞a_丙＞a_甲，v_乙＞v_丙＞v_甲．故A正确，B错误．
C、因为甲不是卫星，它的周期与贴近星球表面做匀速圆周运动的周期不同，根据甲的周期无法求出地球的密度．故C错误．
D、对于乙，根据G$\frac{{Mm}_{乙}}{{r}_{乙}^{2}}$=m_乙$\frac{{4π}^{2}}{{T}_{乙}^{2}}$r_乙，
解得地球质量M=$\frac{{{4π}^{2}r}_{乙}^{3}}{{GT}_{乙}^{2}}$．故D正确．
故选：AD．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，知道线速度、角速度、加速度、周期与轨道半径的关系．以及知道同步卫星的特点．