题目内容
如图所示，A、B两小球用轻杆连接，A球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动，B球处于光滑水平面内．开始时杆竖直，A、B两球静止．由于微小的扰动，B开始沿水平面向右运动．已知A球的质量为mA，B球的质量为mB，杆长为L．则：（1）A球着地时的速度为多大？
（2）A球机械能最小时，水平面对B球的支持力为多大？
（3）若mA=mB，当A球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为多大？A球机械能的最小值为多大？（选水平面为参考平面）
【答案】分析：（1）在运动的过程中，系统机械能守恒，A球着地时，B球的速度为零，根据系统机械能守恒定律求出A球着地时的速度大小．
（2）当A球机械能最小时，B球的速度最大，此时B球的加速度为0，则杆对球的作用力为0．根据平衡求出水平面对B球的支持力大小．
（3）根据系统机械能守恒结合A、B速度的关系求出B的速度与杆与竖直方向夹角的关系，结合数学求导的方法求出B的速度最大时，即A的机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值，以及求出A球机械能的最小值．
解答：解：（1）A球着地时，B球的速度为0．
设此时A球速度为v，由系统机械能守恒得
解得
（2）当A球机械能最小时，B球的速度最大，此时B球的加速度为0，则杆对球的作用力为0．
设小球受到的支持力为N，对B球受力分析可得 N=mBg
（3）设杆与竖直方向间夹角为θ，B球的速度为vB，此时A球的速度为vA，则
且vA和vB沿杆方向上分速度大小相等，即 vAcosθ=vBsinθ
联立解得
令y=（1-cosθ）cos2θ，当y的导数y´=0时，A球机械能最小，vB达最大值，即sinθcos2θ-2（1-cosθ）cosθsinθ=0
解得
则A球机械能的最小值
=
答：（1）A球着地时的速度为
．
（2）A球机械能最小时，水平面对B球的支持力为 N=mBg．
（3）当A球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为
，A球机械能的最小值为
．
点评：解决本题的关键知道A、B组成的系统在运动的过程中机械能守恒．知道当B的速度最大时，A的机械能最小．
（2）当A球机械能最小时，B球的速度最大，此时B球的加速度为0，则杆对球的作用力为0．根据平衡求出水平面对B球的支持力大小．
（3）根据系统机械能守恒结合A、B速度的关系求出B的速度与杆与竖直方向夹角的关系，结合数学求导的方法求出B的速度最大时，即A的机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值，以及求出A球机械能的最小值．
解答：解：（1）A球着地时，B球的速度为0．
设此时A球速度为v，由系统机械能守恒得
解得
（2）当A球机械能最小时，B球的速度最大，此时B球的加速度为0，则杆对球的作用力为0．
设小球受到的支持力为N，对B球受力分析可得 N=mBg
（3）设杆与竖直方向间夹角为θ，B球的速度为vB，此时A球的速度为vA，则
且vA和vB沿杆方向上分速度大小相等，即 vAcosθ=vBsinθ
联立解得
令y=（1-cosθ）cos2θ，当y的导数y´=0时，A球机械能最小，vB达最大值，即sinθcos2θ-2（1-cosθ）cosθsinθ=0
解得
则A球机械能的最小值
=答：（1）A球着地时的速度为
．（2）A球机械能最小时，水平面对B球的支持力为 N=mBg．
（3）当A球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为
，A球机械能的最小值为．点评：解决本题的关键知道A、B组成的系统在运动的过程中机械能守恒．知道当B的速度最大时，A的机械能最小．
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孟建平名校考卷系列答案
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