Question

2．“卡西尼”号土星探测器在离土星表面高h的圆形轨道上飞行，环绕n周飞行时间为t，土星半径为R，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度ρ的表达式正确的是（　　）

• A． M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）}{G{t}^{2}}$；ρ=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{t}^{2}{R}^{3}}$
• B． M=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$；ρ=$\frac{3π{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}{R}^{3}}$
• C． M=$\frac{4{π}^{2}{t}^{2}（R+h）^{3}}{G{n}^{2}}$；ρ=$\frac{3π{t}^{2}（R+h）^{3}}{G{n}^{2}{R}^{3}}$
• D． M=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$；ρ=$\frac{3π（R+h）^{2}}{G{t}^{2}{R}^{3}}$

Answer 1

分析 探测器绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，求出探测器运行的周期．由土星的万有引力提供探测器的向心力列方程求出土星的质量，由密度公式求出土星的平均密度．

解答 解：根据万有引力提供向心力有：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
又卫星的周期为：T=$\frac{t}{n}$
得土星的质量：M=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$，
由密度的定义式为：$ρ=\frac{M}{V}$，
土星的体积为：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$
得土星的密度：ρ=$\frac{\frac{4{π}^{2}{n}^{2}{（R+h）}^{3}}{G{t}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π{n}^{2}{（R+h）}^{3}}{G{t}^{2}{R}^{3}}$
故B正确、ACD错误．
故选：B．

点评 本题题目看似很长，要耐心读题，抓住要点，建立物理模型：探测器绕土星做匀速圆周运动，土星的万有引力提供向心力．