Question

6．如图所示，直角坐标系xOy的y轴右侧有一宽为d的无限长磁场，磁感应强度大小未知，方向垂直纸面向外，y轴左侧有一个半径也为d的有界圆形磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，圆心O₁在x轴上，OO₁=2d，一个带正电粒子以初速度v由A点沿AO₁方向（与水平方向成60°角）射入圆形磁场并恰好从O点进入右侧磁场，从右边界MN上C点（没画出）穿出时与水平方向成30°角，不计粒子重力，求：
（1）粒子的比荷；
（2）右侧磁场的磁感应强度；
（3）粒子从A到C的运动时间．

Answer 1

分析 （1）画出粒子运动的轨迹，根据洛伦兹力提供向心力求出粒子在圆形磁场中运动的半径公式，结合几何关系求出半径，从而得出比荷
（2）在右侧磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系求出半径，再用半径公式求出B'
（3）算出粒子在各段的运动时间，在磁场中时间$t=\frac{θ}{2π}T$

解答 解：（1）画出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，在圆形磁场中，根据几何关系有：
$tan30°=\frac{d}{R}$
解得：$R=\sqrt{3}d$
在磁场中匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
$R=\frac{mv}{qB}$
联立以上各式有：$\frac{q}{m}=\frac{\sqrt{3}v}{3Bd}$
（2）在右侧磁场中，圆心角为30°，根据$sin30°=\frac{d}{R′}$
R′=2d
$R′=\frac{mv}{qB′}$
解得：$B′=\frac{mv}{2qd}=\frac{v}{2d\frac{\sqrt{3}v}{3Bd}}=\frac{\sqrt{3}}{2}B$
（3）圆形磁场中有：${t}_{1}^{\;}=\frac{60°}{360°}T=\frac{1}{6}\frac{2πR}{v}$
代入数据解得：${t}_{1}^{\;}=\frac{\sqrt{3}πd}{3v}$
无磁场区有：${t}_{2}^{\;}=\frac{d}{v}$
右侧磁场有：${t}_{3}^{\;}=\frac{30°}{360°}T′=\frac{1}{12}T′=\frac{1}{12}\frac{2πR′}{v}$
解得：${t}_{3}^{\;}=\frac{πd}{3v}$
所以粒子从A到C的运动时间为：$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}$=$\frac{d}{v}（\frac{\sqrt{3}π}{3}+1+π）$
答：（1）粒子的比荷$\frac{\sqrt{3}v}{3Bd}$；
（2）右侧磁场的磁感应强度$\frac{\sqrt{3}}{2}B$；
（3）粒子从A到C的运动时间$\frac{d}{v}（\frac{\sqrt{3}π}{3}+1+π）$．

点评 本题考查带电粒子在磁场中运动的问题，关键是画出运动轨迹示意图，结合几何关系求解半径，同时能知道半径公式和周期公式．