Question

5．如图所示的平面直角坐标系xoy，在第一象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y正方向；在第四象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xoy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行．一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的p点（坐标0，h），以大小为v₀的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a点（2h，0）进入第四象限，经过磁场后又从y轴上的某点进入第三象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力．求：
（1）电场强度E的大小；
（2）粒子到达a点时速度的大小和方向；
（3）abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律求出电场强度．
（2）应用运动的合成与分解求出速度大小与方向．
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出磁感应强度．

解答 解：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，
水平方向：2h=v₀t，
竖直方向：h=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，
解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qh}$；
（2）粒子到达a点时沿负y方向的分速度为：
v_y=at=$\frac{2h}{{t}^{2}}$×t=$\frac{2h}{t}$=v₀，
速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，
方向与x轴正方向成45⁰角；
（3）粒子在磁场中运动时，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
当粒子从b点射出时，半径最大，磁场的磁感应强度有最小值，运动轨迹如图所示：
由几何知识得：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，
解得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$；
答：（1）电场强度E的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qh}$；
（2）粒子到达a点时速度的大小为：$\sqrt{2}$v₀，方向：与x轴正方向成45⁰角；
（3）abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值为$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$．

点评 本题考查了求电场强度、粒子速度、磁感应强度问题，分析清楚粒子运动过程，应用类平抛运动规律、牛顿第二定律即可正确解题，解题时要作出粒子运动轨迹，注意几何知识的应用．